Ist diese Matheaufgabe richtig oder falsch gelöst worden?
Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC kennt man je zwei Größen. Berechnen Sie die fehlenden vier Größen. a) h=4;q=5 b) p=1;q=2 c) a=5;b=3
a) h=4 und q=5: b=2, c=√41b) p=1 und q=2: a=√2 und c=√3c) a=5 und b=3: c= √34 und h=15√34/34
2 Antworten
Es sind 2 Werte gegeben und Du sollst die restlichen 4 bestimmen; berechnest aber nur 2 Werte!?! (alle Werte wären: a,b,c,h,p,q)
a) es gilt (Höhensatz): h²=pq, also hier: 4²=p*5 <=> p=16/5=3,2
Daraus folgt direkt c=p+q=5+3,2=8,2.
Mit h und q kannst Du über den Satz des Pythagoras das b und mit h und p das a berechnen (wenn man den linken Hypotenusenabschnitte mit q und den rechten mit p bezeichnet - man sieht es auch schonmal umgekehrt!)
h²+q²=b², also 4²+5²=b² <=> b=√41=6,40
h²+p²=a², also 4²+3,2²=a² <=> a=√26,24=5,12
b) hier kannst Du sofort c bestimmen: c=p+q=1+2=3
Jetzt kannst Du mit dem Kathetensatz a und b bestimmen: a²=pc und b²=qc.
Das noch fehlende h kannst Du nun mit a und p oder b und q mithilfe des Satzes des Pythagoras bestimmen.
c) c erhältst Du direkt über den Satz des Pythagoras; p und q dann über den Kathetensatz und abschließend h über den Höhensatz. Hier hast Du zumindest die beiden berechneten Werte richtig...
a) h=4 und q=5:
Die Höhe h ist zur Seite q senkrecht, also kann man die Fläche des Dreiecks berechnen: A = (1/2) * q * h = (1/2) * 5 * 4 = 10.
Die Seite b kann man mit dem Satz des Pythagoras berechnen: b² = c² - h², also b² = 41 - 16 = 25, und damit b = 5.
Die fehlende Seite a kann man mit dem Satz des Pythagoras berechnen: a² = c² - b², also a² = 41 - 25 = 16, und damit a = 4.
Also ist a=4, b=5, c=√41 und die fehlende Größe ist der Winkel alpha gegenüber der Seite a.
b) p=1 und q=2:
Die Fläche des Dreiecks kann man wieder mit A = (1/2) * q * h berechnen, wobei hier h die Höhe zur Seite p ist. Die Fläche ist also A = (1/2) * 2 * 1 = 1.
Da die Fläche auch A = (1/2) * a * b * sin(gamma) ist, kann man sin(gamma) berechnen: sin(gamma) = (2 * A) / (a * b) = 2 / (√2 * √3) = √6/3.
Da sin(gamma) = h / c ist, kann man c berechnen: c = h / sin(gamma) = 2 / (√6/3) = 2√6.
Die fehlende Größe ist wieder der Winkel alpha gegenüber der Seite a.
c) a=5 und b=3:
Die Seite c kann man wieder mit dem Satz des Pythagoras berechnen: c² = a² + b², also c² = 25 + 9 = 34, und damit c = √34.
Die Fläche des Dreiecks ist A = (1/2) * a * b = (1/2) * 5 * 3 = 15/2.
Da die Fläche auch A = (1/2) * q * h ist, kann man h berechnen: h = 2 * A / q = 15/4.
Die fehlende Größe ist wieder der Winkel alpha gegenüber der Seite a.
Also ja, die Lösungen sind korrekt.