Mathe Aufgabe Funktionenschar und Extrempunkte?

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3 Antworten

f(k , t) = 0.5 * t ^ 3 - 1.5 * k * t ^ 2 + 6 * k * t - 6 * t + 50

Es heißt zwar f(k, t) aber ableiten will man hier nur nach t und nicht nach k !

Dass fasst man am besten noch zusammen -->

f(k, t) = 0.5 * t ^ 3 - 1.5 * k * t ^ 2 + 6 * (k - 1) * t + 50

f´(k, t) = (3 / 2) * t ^ 2 - 3 * k * t + 6 * (k - 1)

(3 / 2) * t ^ 2 - 3 * k * t + 6 * (k - 1) = 0 | : (3 / 2)

t ^ 2 - 2 * k * t + 4 * (k - 1) = 0

Die pq-Formel geht von der Form t ^ 2 + p * t + q = 0 aus, und lautet -->

t _ 1, 2 = - (p / 2) -/+ √((p / 2) ^ 2 - q)

Man schreibt sich am besten lieb und brav auf, was was ist -->

p = -2 * k

q = 4 * (k - 1)

p / 2 = - k

(p / 2) ^ 2 = k ^ 2

Das ersetzt man nun in der pq-Formel -->

t _ 1, 2 = - (-k) -/+ √(k ^ 2 - 4 * (k -1))

Das lässt sich noch weiter vereinfachen -->

t _ 1, 2 = k -/+ √(k ^ 2 - 4 * (k -1))

t _ 1, 2 = k -/+ (k - 2)

t _ 1 = 2

t _ 2 = 2 * k - 2 = 2 * (k - 1)

Nun weiß  man, wo die Extremwerte liegen, aber um was für Extremwerte, Tiefpunkt oder Hochpunkt, es sind handelt, das weiß man immer noch nicht.

Auch über Wendepunkte und Sattelpunkte kann man keine Aussage machen.

Die die Bestimmung, um welche Art von Extremwert es sich handelt, benötigt man die 2-te Ableitung -->

f´(k, t) = (3 / 2) * t ^ 2 - 3 * k * t + 6 * (k - 1)

f´´(k, t) = 3 * t - 3 * k

Um Aussagen über Wendepunkte und Sattelpunkte machen zu können, benötigt man die 3-te Ableitung -->

f´´´(k , t) = 3

Wenn f´´(k, t _ 1) = 3 * 2 - 3 * k = 3 * (2 - k) < 0 dann Maximum

Wenn f´´(k, t _ 1) = 3 * (2 - k) > 0 dann Minimum

Wenn f´´(k, t _ 1) = 3 * (2 - k) = 0 UND f´´´(k, t _ 1) ≠ 0 dann Wendepunkt

Wenn f´´(k, t _ 1) = 3 * (2 - k) = 0 UND f´(k, t _ 1) = 0 und UND f´´´(k, t _ 1) ≠ 0 dann Sattelpunkt

f´(k, 2) = (3 / 2) * 2 ^ 2 - 3 * k * 2 + 6 * (k - 1) = 6 - 6 * k + 6 * k - 6 = 0

f´´´(k,  2) = 3

Daraus ergibt sich, dass es für deine Funktion an der Stelle t _ 1 = 2 Sattelpunkte gibt, wenn die Bedingung f´´(k, 2) = 3 * (2 - k) = 0 erfüllt ist.

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Dasselbe gilt auf für t _ 2 anstelle von t _ 1 -->

Wenn f´´(k, t _ 2) = 3 * (2 * k - 2) - 3 * k < 0 dann Maximum

Wenn f´´(k, t _ 2) = 3 * (2 * k - 2) - 3 * k > 0 dann Minimum

Wenn f´´(k, t _ 2) = 3 * (2 * k - 2) - 3 * k = 0 UND f´´´(k, t _ 2) ≠ 0 dann Wendepunkt

Wenn f´´(k, t _ 2) = 3 * (2 * k - 2) - 3 * k = 0 UND f´(k, t _ 2) = (3 / 2) * (2 * k - 2) ^ 2 - 3 * k * (2 * k - 2) + 6 * (k - 1) = 0 und UND f´´´(k, t _ 2) ≠ 0 dann Sattelpunkt

f´(k, t _ 2) = (3 / 2) * (2 * k - 2) ^ 2 - 3 * k * (2 * k - 2) + 6 * (k - 1) ergibt tatsächlich für alle k den Wert Null, genau wie es an der Stelle t _ 1 = 2 der Fall ist.

f´´´(k,  2) = 3

Daraus ergibt sich, dass es für deine Funktion an der Stelle t _ 2 = 2 * k - 2 Sattelpunkte gibt, wenn die Bedingung f´´(k, t _ 2) = 3 * (2 * k - 2) - 3 * k = 0 erfüllt ist.

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Da die Kenntnis von t _ 1, 2 alleine noch keine Punkte ergeben, deshalb muss man noch die Nullstellen der 1-ten Ableitung in die Funktion f(k, t) einsetzen ! -->

f(k , t) = 0.5 * t ^ 3 - 1.5 * k * t ^ 2 + 6 * (k - 1) * t + 50

f(k, t _ 1) = 0.5 * 2 ^ 3 - 1.5 * k * 2 ^ 2 + 6 * (k - 1) * 2 + 50

f(k, t _ 1) = 6 * (k + 7)

f(k, t _ 2) = 0.5 * (2 * k - 2) ^ 3 - 1.5 * k * (2 * k - 2) ^ 2 + 6 * (k - 1) * (2 * k - 2) + 50

f(k, t _ 2) = -2 * (k ^ 3 - 6 * k ^ 2 + 9 * k - 29)

Die Punkte lauten also -->

P _ 1 (2| 6 * (k + 7))

und

P _ 2 (2 * (k - 1)| -2 * (k ^ 3 - 6 * k ^ 2 + 9 * k - 29))

Hallo,

Du darfst Dich durch das k nicht verwirren lassen, es ist ein ein Teil des Faktors.

Die Ableitung Deiner Funktion lautet f'(x)=1,5t²-3kt+6k-6

Extrema findest Du, wenn Du die Ableitung auf Null setzt:

1,5t²-3kt+6k-6=0

Bevor Du nun die pq-Formel benutzt, mußt Du die Gleichung zunächst durch1,5 teilen, denn diese Formel funktioniert nur, wenn vor dem t² nichts steht:

t²-2kt+4k-4=0

Nun ist alles für die pq-Formel bereit und wir sind an der Stelle, an der es für Dich schwierig wurde. Wahrscheinlich wußtest Du nicht, wo Du das k unterbringen sollst und ob Du 4k oder 4 für q einsetzen sollst.

Da das k einfach nur ein Teil des Faktors ist, setzt Du für p alles ein, was vor dem t steht, nämlich 2k, und für q nimmst Du alles, was ohne t in der Gleichung steht, also q=4k-4

Nun setzen wir dies in die bekannte Formel t₁‚₂=-p/2±√(p²/4-q) ein:

p=-2k, dann ist -p/2 natürlich k und p²/4 ist k², nämlich (4k²)/4:

t₁‚₂=k±√[k²-(4k-4)]

Das waren dann auch schon die Nullstellen in Abhängigkeit von k. Wo sie konkret liegen, hängt davon ab, welchen Wert Du für k einsetzt.

Herzliche Grüße,

Willy

Unter der Wurzel kannst Du noch die zweite binomische Formel anwenden. So wird aus k²-4k+4 der Term (k-2)², woraus die Wurzel einfach k-2 ist. Willy

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@Willy1729

super, vielen dank für die ausführliche erklärung! Mich hatte eben die -4 am ende der funktion irritiert. Ich war mir nicht sicher, ob ich 4k-4 als ein argument in die pq formel einsetzen darf

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@Leon2802

Genau das hatte ich mir gedacht. Wenn Du das Prinzip einmal verstanden hast, merkst Du, daß Du mit solchen Parametern wie k genauso rechnen kannst wie mit normalen Zahlen. Es ist letztlich nur Gewohnheitssache.

Willy

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f ' durch 1,5 teilen, ergibt:

t²-2kt+4k-4=0 jetzt pq-Formel mit

p=-2k und q=4k-4

t1=2k-2 und t2=2


das es so simpel ist hab ich mir schon gedacht.. aber warum kann ich die "-4" am schluss einfach als q einsetzen? ich bin nämlich davon ausgegangen, noch weiter vereinfachen zu müssen, da ein argument zu viel für die pq wäre. wieso darf ich dann 4k-4 zusammensetzen? aber schonmal vielen dank :D

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@Leon2802

da wird nichts zusammen gesetzt; alles , was nicht mit t² bzw mit t dort steht, gilt als q

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