Funktionsscharen -?

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4 Antworten

Zeigen Sie, dass sich alle Graphen der Funktionenschar in zwei Punkten schneiden und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

Gezeigt werden muss, dass es genau zwei Stellen t0 gibt, für die für beliebige Werte von j und k gilt:

fj ( t0 ) = fk ( t0 )

Also:

0,5 t0 ^ 3 - 1,5 j t0 ^ 2 + 6 j t0 - 6 t0 + 50 = 0,5 t0 ^ 3 - 1,5 k t0 ^ 2 + 6 k t0 - 6 t0 + 50

<=> - 1,5 j t0 ^ 2 + 6 j t0 = - 1,5 k t0 ^ 2 + 6 k t0

<=> - 1,5 j t0 ^ 2 + 6 j t0 + 1,5 k t0 ^ 2 - 6 k t0 = 0

<=> t0 * ( - 1,5 j t0 + 6 j + 1,5 k t0 - 6 k ) = 0

<=> t0 = 0 ODER ( - 1,5 j t0 + 6 j + 1,5 k t0 - 6 k ) = 0

Letzteres gilt genau dann wenn

<=> t0 ( 1,5 k - 1,5 j ) = 6 k - 6 j

<=> t0 ( k - j ) = 4 ( k - j )

<=> j = k (diese Lösung ist jedoch nicht hilfreich, da j und k ja beliebig sein sollen. Für j = k sind die Funktionen fj und fk identisch, also überall gleich, was nicht zur Lösung des Problems beiträgt.)

ODER t0 = 4

Insgesamt gilt also für beliebige j und k:

fj ( t0 ) = fk ( t0 ) <=> t0 = 0 ODER t0 = 4

Zur Berechnung der Koordinaten der gesuchten Punkte kann eine beliebeige Funktion der Schar fk ( t ) verwendet werden, da ja soeben gezeigt wurde, dass die Graphen aller Funktionen der Schar durch die beiden Punkte gehen. Insbesondere gilt das also auch für den Graphen der Funktion f0 ( t ), bei deren Verwendung die Funktionswerte am einfachsten zu berechnen sind, da für k = 0 alle Summanden, in denen ein k vorkommt, wegfallen, was die Berechnung erleichtert. Die Koordinaten der gesuchten Punkte sind daher:

P1 ( 0 , f0 ( 0 ) ) = ( 0 | 50 )

P2 ( 4 , f0 ( 4 ) ) = ( 4 | 58 )

für Extremw. leitest du ab und setz gleich 0 ; t behandelst du wie x und k wie eine Zahl

für Schnittp. setzt du für k dann einmal zB1 und dann zB 2 ein und setzt die Terme einander gleich, und berechnest t

es ist im prinzip das selbe wie eine normale funktion dur das der parameter k keine laufvariable wie t ist sondern ein parameter du musst beim ableiten und co einfach das k mit schleppen

fk´(t)=1,5t^2-3kt+6k

Und wie sollen wir helfen?

xXtobs96Xx 23.10.2012, 22:39

Im besten Falle mir erklären, wie ich das zu machen habe

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thunderfox 23.10.2012, 22:41
@xXtobs96Xx

Ich gib dir erstmal Tipps:
Die Extrempunkte findest du mit den Ableitungen.

Was meinst du mit Schnittpunkten? Steht da noch was zu?

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xXtobs96Xx 23.10.2012, 22:46
@thunderfox

Okey, Extrempunkte werde ich wohl hinkriegen - Danke. Hier ist mal die Aufgabenstellung zu den Schnittpunkten:

Zeigen Sie, dass sich alle Graphen der Funktionenschar in zwei Punkten schneiden und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

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