pq-Formel bei Funktionsscharen - wie geht das?

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5 Antworten

Ja, das geht, weil man den Parameter k einer Funktionsschar wie eine Zahl behandeln kann.

3x² - 12kx + 9k² = 0     | :3

x²   - 4kx   +3k²  = 0
                                             Dann ist p = -4k   und   q = 3k²
x₁‚₂ = 2k ±√(4k²-3k²)
x₁‚₂ = 2k ± k

IL = { k; 3k }

Für irgendeine Funktion der Schar kannst du jetzt eine Voraussage für die beiden Nullstellen treffen, ohne jedes Mal die p,q-Formel anwenden zu müssen. Und das ist der Witz bei der Sache. Diese NS sind vom Parameter abhängig.
Das muss nicht immer so sein. Manchmal gibt es auch gemeinsame NS für alle Kurven der Schar oder sonst irgendetwas Regelmäßiges.

In einem solchen Fall kann man dann auch für Untermengen  der Schar Gemeinsamkeiten angeben, die sich bei Auswertung des Parameters ergeben, etwa bei Extremwerten oder Wendepunkten.

Kurvenscharen sind die Geheimwaffe der Mathe-Lehrer gegen gewisse Taschenrechner, die schon komplette Funktionsdiskussionen können, bei den Scharen aber noch schweigen.
:-)

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Kommentar von SJ157O
01.03.2016, 18:43

Ja, so langsam Verstehe ich es. Hätte aber noch zwei Fragen und zwar: wie kommst du unter der Wurzel auf 4k²? Und wie löst man die Wurzel auf?

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fk(x) = 3x^2 - 12kx + 9k^2

3 * x ^ 2 - 12 * k * x + 9 * k ^ 2 = 0 | : 3

x ^ 2 - 4 * k + 3 * k ^ 2 = 0


x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = - 4 * k

p / 2 = - 2 * k

(p / 2) ^ 2 = 4 * k ^ 2

q = 3 * k ^ 2

x _ 1, 2 = - (-2 * k) - / + √(4 * k ^ 2 - 3 * k ^2)

x _ 1, 2 = 2 * k - / + √(k ^ 2)

x _ 1, 2 = 2 * k - / + k

x _ 1 = k

x _ 2 = 3 * k

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Den Term möglichst weit vereinfachen, und zaack hast du doch deine perfekten Nullstellen, also hast du da ja eigentlich auch schon.. kannst ja die 4/2k minus die 3k rechnen, dann hast du ja -k hoch 2. das hoch 2 kürzt sich mit der wurzel weg, sodass deine nullstelle -k sein müsste...

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Kommentar von YStoll
01.03.2016, 18:07

Achtung, um das 4/2k steht ein Quadrat! -k ist hier keine Nullstelle.

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Doch, das ist bis dahin richtig. Was sind denn 4/2?
Und was sind dann (4/2 * k)² und was sind (4/2 * k)² - 3k²?

Dann lässt ich die Wurzel sehr leicht ziehen.

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Kommentar von SJ157O
01.03.2016, 18:28

Das / soll einen Bruchstrich symbolisieren. Also steht 4 über dem Bruchstrich und 2k unter dem Bruchstrich. Oder meintest du etwas anderes?

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(hab x1/2 nicht nachgerechnet, aber falls es stimmt)

Aus dem Wurzelterm kannst du 4k^2-3k^2 = 1k² mache

x1/2 = 2k + - k  x1 = k  x2 = 3k

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Kommentar von Wechselfreund
01.03.2016, 19:10

Hätte erst alle Antworten lesen sollen, ehe ich hier nochmal das gleiche schreibe...

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