Lösung zu Mathe Aufgabe (Abitur 2017)?

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5 Antworten

Hallo,

die Lösung kann ich nicht nachvollziehen.

z(t) gibt den (unregelmäßigen) Zufluß in Abhängigkeit von der Zeit an, nicht aber den Wasserstand.

Um den Wasserstand nach vier Stunden zu bestimmen, mußt Du integrieren, also die Fläche unter dem Funktionsgraphen bestimmen.

Dazu mußt Du zunächst testen, ob zwischen t=0 und t=4 keine Nullstelle vorhanden ist.

Für die Nullstellenbestimmung klammerst Du t² aus (eine Nullstelle also bei t=0, was klar ist): t²*(t²-12t+36)=0 bzw. t²*(t-6)²=0

Die zweite (doppelte) Nullstelle befindet sich also bei t=6 und interessiert hier nicht weiter.

Z(t)=0,2t^5-3t^4+12t^3

Für t=0 wird dies Null, es reicht also, Z(4) zu bestimmen:

Z(4)=204,8

Da eine Einheit 100 Liter sind, hast Du also nach vier Stunden 20480 Liter im Tank.

Ab t=4 laufen pro Stunde 500 Liter ab und es gilt eine neue Gleichung:

z(t)=t^4-12t^3+36t^2-5t

Z(t)=0,2t^5-3t^4+12t^3-2,5t^2

Dies muß nun von 0 bis 2 integriert werden, um zu bestimmen, wieviel Wasser ab der vierten Stunden hinzukommt.

Wieder reicht es, Z(2) zu bestimmen, da Z(0) Null wird.

Z(2)=44,4, also 4440 Liter.

Nach sechs Stunden sind demnach 20480+4440=24920 Liter im Tank.

Die Frage ist, ob dies der Höchststand ist.

Höchststand nach vier Stunden sind die 20480 Liter, weil die Zuflußmenge ständig im positiven Bereich blieb, sich die Wassermenge sich also stets vermehrte.

Was passiert zwischen Stunde 4 und Stunde 6 bzw. zwischen Stunde 0 und 2 nach Öffnen des Abflusses?

Wir müssen die neue Funktion auf Null setzen:

t^4-12t^3+36t^2-5t=0

Diese neue Funktion hat im Bereich zwischen t=4 und t=6 nur eine Nullstelle, nämlich bei t=5.

Da wir für t=4 einen positiven Wert erhalten, bedeutet dies, daß zwischen Stunde 4 und 5 ständig Wasser hinzukommt, danach wird der Zufluß negativ und es fließt wieder Wasser ab.

Somit müßte die maximale Wassermenge bei t=5 Stunden erreicht sein.

Herzliche Grüße,

Willy 

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Kommentar von Willy1729
24.02.2017, 17:47

Wenn ich nochmal darüber nachdenke, muß man den Wasserstand zwischen Stunde 4 und 6 doch etwas anders bestimmen, da die Zuflußmenge von t abhängig ist und z(4) nicht gleich z (0) ist, auch nicht bei der neuen Funktion ab Stunde 4.

Dann darfst Du aber nicht 5t subtrahieren, weil die 500 Liter ja nur in den beiden letzten Stunden ablaufen, sondern wir subtrahieren
5*(t-4).

Bei der Wassermenge in den ersten vier Stunden bleibt es - daran ändert sich nichts.

Um die Wassermenge während der letzten beiden Stunden zu bestimmen, integrieren wir t^4-12t^3+36t^2-5t+20 von 4 bis 6.

Wir können in diesem Fall durchintegrieren, weil negative Flächen auf jeden Fall mit positiven verrechnet werden müssen, denn wenn mehr Wasser abfließt als zufließt, geht das schließlich auch in die Gesamtmenge ein.

Als Gesamtmenge bekomme ich 4440 Liter heraus - es hat sich also auch hier nichts geändert.

Allerdings muß die Nullstelle anhand der geänderten Funktion neu bestimmt werden

Im Intervall zwischen t=4 und t=6 liegt nur eine Nullstelle, nämlich bei t=5,5, davor verläuft der Graph oberhalb der x-Achse.

Der maximale Wasserstand müßte dann nach 5,5 Stunden erreicht sein, danach sinkt er wieder, weil mehr Wasser abfließt als hinzukommt.

Willy

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Der Zufluss ist nicht gleichmäßig, sondern unregelmäßig, er wird durch die Funktion z(t) beschrieben.

Nach 4 Stunden fließen 500 Liter pro Stunde wieder ab (während aber weiter Wasser gemäß z(t) zufließt!).

Jetzt sollst du berechnen, wann am meisten Wasser im Tank ist. Bis zum Zeitpunkt t = 4 kannst du den Wasserstand mit z(t) bestimmen, ab dann musst du den Abfluss mit einbeziehen.

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Kommentar von Roariex
24.02.2017, 15:19

Ja, und wie mache ich das in dem Fall?

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Kommentar von Willy1729
24.02.2017, 22:00

Hallo,

Du kannst über z(t) eben nicht die Wassermenge bestimmen, die sich angesammelt hat, sondern nur die momentane Zuflußrate.

Den Wasserstand bestimmst Du über die Fläche unter dem Graphen im genannten Intervall, mußt also integrieren.

Dabei gilt ab t=4 z(t)-5 und Z(t)-5t

Herzliche Grüße,

Willy

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Soweit wie ich die Aufgabe b verstehe, musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen. Zum einen der Funktion die schon gegeben ist ( für die ersten 4 Stunden) und dann musst du diese noch ändern,  sodass der Abfluss mit einberechnet wird und davon die Nullstellen berechnen. 

Das Maximum/Minimum einer Funktion f(x) bestimmt man in dem man die Ableitung der Funktion bildet f'(x) und die Nullstellen bestimmt. Die Funktion die gegeben ist, ist schon die Ableitung der Funktion f(x) die den Wasserstand angibt.

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Bei a) keine Ahnung, aber bei b) leitest Du eindfach ab. Tu so, als ob z(t) f(x) wäre und als ob t x wäre. Ist genau das Selbe. Z'(t) = 0 setzen, evtl Maximum bestimmen und fertig.

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Kommentar von Roariex
24.02.2017, 15:19

Dann ist aber der Abfluss nicht mit einberechnet.

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