Kosinussatz auf c umformen
Hey,
ich sitze gerade an einer Aufgabe und bin mir nicht so sicher, wie ich diese richtig lösen soll. Auf meiner Formelsammlung steht so der Kosinussatz:
a² = b² + c² - 2 * b * c * cos (alpha)
Bei der Aufgabe ist a = 3 cm, b = 5 cm und alpha 30° groß. Gesucht sind alle restlichen Größen. c, beta und gamma.
Muss ich die Formel auf c umformen und wenn ja, ist das dann so richtig ?
a² = b² + c² - 2 * b * c * cos (alpha) | - b² + c²
a² - b² + c² = -2 * b * c * cos (alpha) | + 2 * b
a² - b² + c² + 2 * b = c * cos (alpha) | : cos (alpha)
(a² - b² + c² + 2 * b) / (cos alpha) = c
Ist das so richtig oder nicht ? Wenn nicht, wie berechne ich dann c ?
Danke
4 Antworten
a, b und alpha sind bekannt, c soll berechnet werden.
c kommt an zwei Stellen in Deiner Gleichung vor: einmal als c², zum anderen als einfacher Faktor im Produkt 2·b·c·cos(alpha). Damit handelt es sich um eine quadratische Gleichung in c.
Da wirst Du wohl nicht um die pq-Formel herumkommen. Also a² subtrahieren, umstellen, damit Du p und q besser siehst und anschließend Formel anwende.
Meine Ergebnisse: c = 2,67 oder c = 5,99
Dementsprechend ergeben sich für beta und gamma auch zwei Lösungen.
Du könntest auch den Sinussatz anwenden:
sin alpha / sin beta = a/b --> nach beta auflösen
alpha+beta+gamma=180° --> gamma berechnen
sin alpha / sin gamma = a/c --> nach c auflösen
Man könnte auch, wenn man unbedingt den Kosinussatz benutzen will, als letzten Schritt
c² = a² + b² - 2abcosɣ rechnen.
Eine Anmerkung: Wenn man den Sinussatz anwendet, dann erhält man den Wert sin(beta). In diesem Fall führt dieser aber zu zwei Winkeln, nämlich
arcsin(sin(beta) und 180 - arcsin(sin(beta), und beide Lösungen sind richtig, da die Lösung im obigen Fall zweideutig ist. Wenn man also Sinussatz anwendet, dann muss man darauf aufpassen. Der Kosinussatz liefert von Haus aus wegen der quadratischen Gleichung beide Lösungen.
Der Kosinussatz kann zyklisch angewendet werden, weil alle Seiten und Winkel gleichwertig sind. Zu achten ist nur darauf, dass die Seite ganz links dem Winkel ganz rechts entspricht, der ihr gegenüber liegt. Das ist wichtig zu wissen, wenn in der Aufageb völlig andere Bezeichnungen verwendet werden, Wenn man es sich so merkt, bekommt man den Satz in jeder Lebenslage hin.
a² = b² + c² - 2bc cos α
b² = c² + a² - 2ca cos ß
c² = a² + b² - 2ab cos γ
In ein und derselben Aufgabe wird man den Kosinussatz meist nur einmal brauchen, danach Sinussatz und den 3. Winkel gegen 180° ergänzen. Das geht schneller.
In deinem Beispiel musst du mit dem Sinussatz anfangen, um ß zu errechnen. Ob dann der Kosinussatz überhaupt noch nötig ist, ist die Frage, weil du ja den dritten Winkel aus der Winkelsumme bekommst. Danach erhältst du aus dem Sinussatz schließlich die Seite c.
Wenn man mit dem Sinussatz anfängt, dann läuft man (als Schüler) schnell die Gefahr, die zweite Lösung zu übersehen. Einmal ist arcsin(sin(ß)) und die zweite Lösung 180-arcsin(sin(ß)). Zwar ist das nicht schwierig, der Kosinussatz liefert aber direkt die richtige Anzahl an Lösungen.
p.s.
Wie schaffst du das hier so schön mit den Sonderzeichen, also etwa ß ? (hab ich gerade bei dir geklaut)
Mit dem Kosinussatz kannst du ja nur anfangen, wenn von vornherein zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind. Auch wenn beim Sinussatz ggf. nur ein Winkel herauskommt, hat es für die Lösung einer Aufgabe immer noch gereicht. Das ist meine Erfahrung.
Das ß ist noch das leichteste Zeichen, weil du ja unser ß (sz) verwenden kannst. Ich habe allerdings einen File mitlaufen, den ich mal angelegt habe und aus dem ich die notwendigen Zeichen jeweils kopiere. Hier eine Zeile daraus. Wenn du sie benutzt, ist das nicht geklaut, sondern mathematisches Allgemeingut.
∫ ∑ α ß γ δ ε λ μ π ϝ τ ℝ ≙ Δy/Δx ♡
Ne, noch ist nicht gut.
Ich nehme das Beispiel aus der Frage. Alpha ist 30 , a = 3 und b = 5.
Dann hast du mit
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * COS(alpha) die Gleichung
9 = 25 + c^2 - 10 * c * cos (30)
Dies ist eine ganz normale quadratische Gleichung für c mit den beiden Lösungen
c = 2.67 oder c = 5.99.
Dies sind die beiden c der nicht eindeutigen Lösungen.
So, jetzt ist gut :-)
Du gibst doch einfach keine Ruhe. Willst du unbedingt recht haben? Oder was?
Das gelingt doch nicht. Mit dem Sinussatz anzufangen, ist und bleibt die beste und schnellste Lösung.
Die beiden c stellen sich automatisch ein, wenn man (in einer höheren Klassenstufe) überhaupt daran denkt, weil der Sinus des stumpfen Winkels, der im dritten Teil der Rechnung auftaucht, den geübten Rechner ohnehin dazu bringt, mit dem spitzwinkligen Pendant das zweite c auszurechnen.
Dafür reicht eine Multiplikation, (p,q) ist nicht nötig.
Und wenn du auch noch erwartest, dass ich deine Kommentare überhaupt sehe, dann musst du etwas dafür tun, nämlich meine markieren, so wie ich es auch bei deinen getan habe!
Nein, ich gebe auch keine Ruhe.
Es geht doch um folgendes: du hast DREIMAL behauptet, in der Aufgabe mit nicht eingeschlossenem Winkel KANN man nicht mit dem Kosinussatz anfangen.
Ich habe dir mit einer ganz einfachen quadratischen Gleichung bewiesen, dass man doch kann. Jeder mit Mathematikkenntnissen des 10. Schuljahres kann das leicht nachvollziehen. Nur darum geht es hier.
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Ich will aber keine Emails haben. Davon bekomme ich eh zu viele.
Ich habe mir deine Rechnung nochmal angesehen. Und ich gebe zu, dass du recht hast. Das ist so machbar, wenn ich auch niemals diesen Weg gehen würde. Doch das ist dann ja eine ganz andere Frage.
Dieser Thread ist ein schöner Beweis dafür, dass manchmal doch mehr Wege nach Rom führen, als der Praktiker im ersten Anlauf zu bedenken im Sinn hat. Ich freue mich für dich für deine Beharrungskraft.
Ich werde mir noch mehr angewöhnen, statt "muss" nur "kann" zu sagen.
An einer einzigen Stelle hätte es gereicht, diese Disputation obsolet zu machen.
Andererseits war gerade sie wieder wichtig zu zeigen, dass das Ziel auf verschiedenen Wegen zu erreichen ist, - auch auf weniger geradlinigen.
Im ersten Schritt muss es " -b² - c² " heißen. Minus beim c², du willst es ja auf die andere Seite bringen!
Und beim zweiten Schritt nicht +2b, sondern " : (-2b) ". Das auf der rechten Seite ist ja ein Produkt, keine Summe.
Der Schluss müsste stimmen (ist halt ein Folgefehler, aber dass man durch cos(α) teilt, stimmt.)
Genau. Das ist ja auch der nicht eindeutige Kongruenzsatz ssw mit dem Winkel, der der kleineren Seite gegenüber liegt.
Damit ist auch vollkommen klar, dass die Gleichung selbst auch zwei Lösungen haben muss, und für so etwas kommt halt in erster Linie mal eine quadratische Gleichungen in Betracht.