sin, cos, tan von Gamma?

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7 Antworten

Meiner Meinung nach ist es am einfachsten, das Bild des Einheitskreises zu verinnerlichen (ich stelle mir immer einen Winkel von etwa 30° vor):

Sinus und Kosinus sind im Inneren des Kreises, Sinus ist senkrecht, Kosinus ist waggrecht.

Tangens ist außerhalb des Kreises (er tangiert ihn) und ist senkrecht.

Mit diesem Bild im Kopf kann ich mir alle Beziehungen sofort herleiten.

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Die Frage ist sehr unpräzise gestellt von dir. Daher kann ich nur raten, was du meinst und gehe mal von üblichen Bezeichnungen aus. Ich vermute, du meinst ein rechtwinkliges Dreieck mit den Ecken A, B und C. Die Innenwinkel lauten alpha am Punkt A, beta am Punkt B und gamma am Punkt C. Gamma ist ein rechter Winkel. Die Seiten heißen wie die Gegenüberliegenden Punkte, also gegenüber von A ist a, Gegenüber von B ist b und Gegenüber von C ist c. Also a und b sind Katheten und c die Hypotenuse.


Dann hast du schon richtig erkannt, wie die Winkelfunktionen bezogen auf alpha und beta sind. Von Gamma kann man das aber nicht sagen. Denn die Bezeichnung "Gegenkathete" gibt es da nicht. Wenn man so will, gibt es bei Gamma nur zwei Ankatheten. Aber du weißt ja, daß gamma 90° sind. Und sin90° ist 1, cos90° ist 0 und tan90° gibt es nicht.

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tan von alpha ist a/b vorausgesetzt, dass a die Seite ist, die gegenüber dem Winkel Alpha

tan von Beta ist b/a, vorausgesetzt, dass b die Seite ist, die gegenüber dem Winkel beta liegt.

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Merke dir diese Definitionen nicht mit konkreten Buchstaben wie a,b,c, alpha und so weiter, sondern in der Form:  Sinus = Gegenkathete/Ankathete  etc.

Dafür gibt es praktische Merksprüche. 

Guck zum Beispiel mal da:

http://alle-eselsbruecken.de/trigonometrische-funktionen/

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Angenommen, du hast ein Dreieck mit den Seiten a, b und c und einem rechten Winkel γ gegenüber von c.

Dann gilt:

sin α = a/c
cos α = b/c
tan α = a/b

sin β = b/c
cos β = a/c
tan β = b/a

Für den rechten Winkel γ können keine Verhältnisse aufgestellt werden, da die Gegenkathete zu γ der Hypotenuse im Dreieck entspräche.

Dies gilt aber nur in diesem Dreieck mit diesen Beschriftungen.

Allgemein gilt:

              Gegenkathete zu α
sin α = ——————————
                    Hypotenuse

               Ankathete zu α
cos α = ————————
                  Hypotenuse

              Gegenkathete zu α
tan α = ——————————
                 Ankathete zu α

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

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Das kommt auf die Beschriftungen des Dreiecks an. Du solltest dir statt a, b und c lieber Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse merken. Lehrer sind gerne auch mal fies und beschriften z.B. in der Klausur das Dreieck anders als man es im Unterricht immer hatte.
Die Seite hilft dir sicher weiter, hättest du aber auch schnell mit Google finden können: http://de.bettermarks.com/mathe-portal/mathebuch/berechnungen-rechtwinkligen-dreiecken.html

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Mit Gamma kannst du die ähnlich formulieren, vorausgesetzt du bist in einem rechtwinkligem Dreieck. Allgemein gilt ja:

sin(Winkel) = Gegenkathete/Hypo.

cos(Winkel) = Ankathete/Hypo.

tan(Winkel) = Gegenk./Ank.

Das gilt für alle Winkel.

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Kommentar von Kiddinme
03.10.2016, 12:36

Ich versteh das nicht so ganz; wenn man sin Gamma rausbekommen möchte, muss man ja Gegenkathete/ Hypotenuse rechnen, aber die Gegenkathete ist ja 'c' aber auch die Hypotenuse

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