Konvexes Set? Warum?
Wieso wird hier explizit darauf hingewiesen, dass das Set S konvex sein muss. Das Theorem habe ich verstanden, aber kann jemand das anschaulich erklären, warum das Set S konvex sein muss? Bzw. was geht dann schief wenn das Set nicht konvex ist?
3 Antworten
Für Konvexität muss die Funktion immer unterhalb der Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten verlaufen. Wenn die Definitionsmenge nicht konvex ist, ist die Funktion auf solchen Verbindungsstrecken nicht immer definiert. Wenn man bei der Definition von Konvexität solche Punkte einfach ingoriert, ist f(x) = 1/x² ein Gegenbeispiel: die Funktion ist überall linksgekrümmt, aber z.B. zwischen -1 und 1 verläuft der Graph über der Verbindungsstrecke, wenn man die 0 mal außenvorlässt.
In solchen Fällen ist auch ein Blick in den Beweis und die Suche, wo die Voraussetzungen verwendet werden, aufschlussreich.
Durch die Forderung nach Konvexität wird zum Beispiel ausgeschlossen, dass die Menge S Löcher enthält, z.B. einzelne Punkte, an denen f nicht definiert ist…
Hier siehst du eine Äquivalente charakterisierung von konvexen Funktionnen:
Hier sieht man, dass C Konvex sein muss, dass das Argument von f auf der rechten Seite immer in C liegt.
... auf der linken Seite ...