komplexe Gleichungen umformen?
Hallo zusammen,
ich soll beispielsweise solche Gleichungen zu der Form z=a+bi umformen, nur wenn ich das tu, drehe ich mich immer im Kreis, weil ich weder i noch das z alleine stehen bekomme.
Wie kann ich da vorgehen? Ich dreh da echt durch mit dieser einzigen Teilaufgabe bzw. dieser Art von Aufgaben. Kann mir da einer helfen?
3 Antworten
Einfach nach z auflösen:
und fröhlich ausmultiplizieren:
Hallo,
bis zur vorletzten Zeile ok. Jetzt jedes z durch a+bi ersetzen.
Alles ausmultiplizieren und zusammenfassen, danach alles mit a und b auf eine Seite der Gleichung, alles ohne auf die andere.
Danach die Terme mit a und b in Terme mit i aufteilen und in Terme ohne i.
Anschließend Koeffizientenvergleich. Wenn etwa 3ai-2bi+a-3b=3i+5 ergeben sollen, dann muß 3a-2b=3 sein (also die Zahl vor dem i) und a-3b muß 5 ergeben (die Zahl ohne i). Das ist nur ein Beispiel. Die korrekte Lösung für a lautet 22/15;
b ist dann -4/15. z ist daher 22/15-i*4/15. Du hast es mit einem Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen zu tun.
Herzliche Grüße,
Willy
Nötig nicht, das stimmt. Allerdings ist es deswegen ja kein Muss, es anders zu machen.
Warum sollte man das nun machen?
Z. B. kann man so der Division mit komplexen Zahlen ausweichen. Natürlich das auch umproblematisch, aber insgesamt würde ich es als weniger fehleranfällig sehen, wenn man z zu a + b i zerlegt.
Hm, ich weiß nicht. Ich habe dann plötzlich mehr Variablen zu verwalten. Koeffizientenvergleich ist dann sinnvoll, wenn ich eben nicht nach z auflösen kann, weil ich irgendwelche Wurzeln oder Quadrate ausrechen muss, aber wenn es direkt geht, würde ich es immer direkt machen. Und meine Lösung unten ist jetzt auch nicht wirklich so extrem fehleranfällig....
Ne, dein Lösungsweg ist wirklich nicht sehr fehleranfällig.
Habe es eher darauf bezogen, wie ich es gemacht habe (bei mir gibt es zwei Divisionen und viel Bruchrechnen).
Aber wie Willy schon sagt: "Viele Wege führen nach Rom."
1 / (2^(–1) – z^(–1)) = 3 i – 4
1 / (1/2 – 1/z) = –4 + 3 i
1 = (–4 + 3 i) (1/2 – 1/z)
1 / (–4 + 3 i) = 1/2 – 1/z
(–4 – 3 i) / ((–4 + 3 i) (–4 – 3 i)) = 1/2 – 1/z
(–4 – 3 i) / ((–4)² – (3 i)²) = 1/2 – 1/z
(–4 – 3 i) / (16 + 9) = 1/2 – 1/z
–4/25 – 3/25 i = 1/2 – 1/z
–4/25 – 1/2 – 3/25 i = –1/z
–33/50 – 3/25 i = –1/z
33/50 + 3/25 i = 1/z
(33/50 + 3/25 i) z = 1
z = 1 / (33/50 + 3/25 i)
z = (33/50 – 3/25 i) / ((33/50 + 3/25 i) (33/50 – 3/25 i))
z = (33/50 – 3/25 i) / ((33/50)² – (3/25 i)²)
z = (33/50 – 3/25 i) / (1089/2500 + 9/625)
z = (33/50 – 3/25 i) / (9/20)
z = 22/15 – 4/15 i
Warum sollte man das hier machen? Man kann doch einfach nach z auflösen... und dann nur noch den Bruch entsprechend erweitern. Koeffizientenvergleich ist hier gar nicht nötig, ist ja alles linear und ganz unproblematisch.