Kann mir jemand eine Musterlösung für a plus zusätzlich Erklärung geben bitte?

Answer 1

[Halbrecht]

ein Punkt

f(1) = 0 

auch extremwert

f'(1) = 0 

noch ein Punkt , der Extremwert ist

f(0) = 1

f'(0) = 0 

.

LGS aufstellen

glg (1) 

0 = a(1)³ + b(1)² + c*(1) + d

0 = a + b + c + d

glg (2)

0 = 3a(1)² + 2b(1) + c 

0 = 3a + 2b + c 

usw

praktisch : weil der Punkt Q die x-Koordinate 0 hat ,ergeben sich sofort d und c . Sie sind Null

Danach erst (1) und (2) auswerten

Hilfreich

0

Answer 2

[mihisu]

Man hat eine Funktion 3. Grades. Dementsprechend hat man zunächst einmal den allgemeinen Ansatz...

$f(x)=a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d$

$f'(x)=3\,a\,x^2+2\,b\,x+c$

Nun soll die Funktion im Punkt P(1|0) eine Nullstelle haben. Damit die Funktion durch P(1|0) verläuft, müssen die Koordinaten x = 1 und y = 0 des Punktes P die Funktionsgleichung erfüllen. Es muss also f(1) = 0 sein...

$f(1)=0$

$\quad \Leftrightarrow\quad a\cdot 1^3+b\cdot 1^2+c\cdot 1+d=0$

$\quad \Leftrightarrow\quad a+b+c+d=0$

An dieser Nullstelle (am Punkt P, also an der Stelle x = 1) soll sich auch ein Extremwert befinden. Notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle ist (zumindest bei differenzierbaren Funktionen auf offenen Definitionsbereichen), dass die erste Ableitung dort gleich 0 ist. Dementsprechend muss f′(1) = 0 sein.

$f'(1)=0$

$\quad \Leftrightarrow\quad 3\,a\cdot 1+2\,b\cdot 1+c=0$

$\quad \Leftrightarrow\quad 3\,a+2\,b+c=0$

Ein weiterer Extremwert soll bei Q(0|1) liegen. Dementsprechend muss die Funktion insbesondere durch den Punkt Q(0|1) verlaufen. Dementsprechend müssen die Koordinaten x = 0 und y = 1 von Q die Funktionsgleichung von f erfüllen.

$f(0)=1$

$\quad \Leftrightarrow\quad a\cdot 0^3+b\cdot 0^2+c\cdot 0+d=1$

$\quad \Leftrightarrow\quad d=1$

Da es sich außerdem um einen Extremwert handeln soll, muss an der entsprechenden Stelle, also bei x = 0, die erste Ableitung gleich 0 sein.

$f'(0)=0$

$\quad \Leftrightarrow \quad 3\,a\cdot 0^2+2\,b\cdot 0+c=0$

$\quad \Leftrightarrow \quad c=0$

Dementsprechend kann man also das folgende Gleichungssystem aufstellen und bzgl. der Unbekannten a, b, c, d lösen...

$\begin{cases}a+b+c+d=0\\3\,a+2\,b+c=0\\ d=1\\ c=0\end{cases}$

Um dieses Gleichungssystem zu lösen, kann man zunächst erkennen, dass man c = 0 und d = 1 bereits kennt. Diese Werte kann man in die ersten beiden Gleichungen einsetzen...

$\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}a+b+0+1=0\\3\,a+2\,b+0=0\\ d=1\\ c=0\end{cases}$

$\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}a+b+1=0\\3\,a+2\,b=0\\ d=1\\ c=0\end{cases}$

Nun kann man beispielsweise die erste Gleichung nach b auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen, um eine Gleichung zu erhalten, die nur noch von a abhängt, womit man dann a berechnen kann.

$\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}b=-a-1\\3\,a+2\cdot\left(-a-1\right)=0\\ d=1\\ c=0\end{cases}$

$\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}b=-a-1\\a-2=0\\ d=1\\ c=0\end{cases}$

$\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}b=-a-1\\a=2\\ d=1\\ c=0\end{cases}$

Dann kann man den Wert a = 2 in die nach b aufgelöste Gleichung b = -a - 1 einsetzen, um den Wert für b zu erhalten.

$\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}b=-2-1\\a=2\\ d=1\\ c=0\end{cases}$

$\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}b=-3\\a=2\\ d=1\\ c=0\end{cases}$

Setzt man diese Werte in den ursprünglichen Ansatz ein erhält man...

$f(x)=2\,x^3+\left(-3\right)\,x^2+0\,x+1$

$\boxed{f(x)=2\,x^3-3\,x^2+1}$

============

Answer 3

[verreisterNutzer]

Das LGS ergibt sich so:

f(1)  = 0 →  (1)      a +  b + c + d = 0
f'(1) = 0 →  (2)     3a + 2b + c     = 0
f(0)  = 1 →  (3)                   d = 1
f'(0) = 0 →  (4)               c     = 0

Und die Lösung ist:

Schritt: (3) und (4) in (1) und (2)

(1)  a +  b + 1 = 0
(2) 3a + 2b     = 0

Schritt: (2) = (2) - 3·(1); Gleichung (1) bleibt unverändert
(1)  a +  b + 1 = 0
(2)      -b - 3 = 0 -> b = -3

Schritt:  b = -3 in (1)
(1)  a -  3 + 1 = 0 -> a = 2

Also zusammengefasst
a = 2; b = -3; c = 0; d = 1