Das LGS ergibt sich so:

f(1)  = 0 →  (1)      a +  b + c + d = 0
f'(1) = 0 →  (2)     3a + 2b + c     = 0
f(0)  = 1 →  (3)                   d = 1
f'(0) = 0 →  (4)               c     = 0

Und die Lösung ist:

Schritt: (3) und (4) in (1) und (2)

(1)  a +  b + 1 = 0
(2) 3a + 2b     = 0

Schritt: (2) = (2) - 3·(1); Gleichung (1) bleibt unverändert
(1)  a +  b + 1 = 0
(2)      -b - 3 = 0 -> b = -3

Schritt:  b = -3 in (1)
(1)  a -  3 + 1 = 0 -> a = 2

Also zusammengefasst
a = 2; b = -3; c = 0; d = 1