Kann mir jemand bei einer Matheaufgabe helfen?

Die Aufgabe ist folgende.

Ich hatte mir gedacht, dass die Lösung x^2 - y^2 - z^2 sein muss. Laut dem AB ist es aber x^2 - (y - z)^2 . Kann mir jemand den Unterschied erklären sowie den genauen Rechenweg? Über eine ausführliche Antwort würde ich mich freuen.

Answer 1

[AusMeinemAlltag]

(x - y + z) * (x + y - z) = (x - (y - z)) * (x + (y - z))

Dritte binomische Formel anwenden --> (a - b) * (a + b) = a ^ 2 - b ^ 2

Also:

(x - (y - z)) * (x + (y - z)) = x ^ 2 - (y - z) ^ 2

Comments

[xXHamzaBamzaXx]

wie bist du denn darauf gekommen y - z einzuklammern?

[AusMeinemAlltag]

@xXHamzaBamzaXx

Ich bin darauf gekommen weil es machbar ist, und aus Erfahrung.

Es ist außerdem praktisch, weil die 3-te binomische Formel anzuwenden alles ist was man anschließend noch zu tun hat.

Answer 2

[ethan227]

$\left(\ x\ -\ \left(y\ -\ z\right)\right)\left(\ x\ +\ \left(y\ -\ z\right)\right)\ =\ x^2\ +\ x\left(y\ -\ z\right)\ -\ \left(y\ -\ z\right)x\ -\ \left(y\ -\ z\right)^2$ $x^{2\ }-\ \left(\ y\ -\ z\right)^2$ Selbstverständlich würdest Du es bemerken, dass

$a^2\ -\ b^2\ =\ \left(\ a\ -\ b\right)^2$ das Gegenstück von richtig ist. Stelle Dir vor, dass Du die Werte von a = 7 und b = 5 in die Gleichung einfügen möchtest. Du bekommst dann ein Ergebnis von

$49\ -\ 25\ =\ 4,\ 24\ =\ 4\$ , nachdem ich diese Werte für eine Probe einsetzte.

Außerdem kannst Du auch diesen Rechnenweg anwenden, was für Dich am einfachsten wäre.

$x\left(\ x\ +\ y\ -\ z\right)\ -\ y\left(x\ +\ y\ -\ z\right)\ +\ z\left(\ x\ +\ y\ -\ z\right)$ $x^2\ +\ xy\ -\ xz\ -\ xy\ -\ y^2\ +\ yz\ +\ xz\ +\ yz\ -\ z^2$ $x^2\ -\ y^2\ +\ 2yz\ -\ z^2\ =\ x^2\ -\ \left(\ y^2\ -\ 2yz\ +\ z^2\right)\ =\ x^2\ -\ \left(\ y\ -\ z\right)^2$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik ist seit langem mein Lieblingsfach.🧮

Answer 3

[evtldocha]

Unterschied:

$(y-z)^2\ \ne y^2-z^2\$

Rechenweg (2 mal Distributivgesetz anwenden und zusammenfassen)

$x\cdot\left(x+y-z\right)-y\cdot\left(x+y-z\right)+z\cdot\left(x+y-z\right)\ \ =$ $x^2+x\cdot y-x\cdot z-x\cdot y-y^2+y\cdot z+x\cdot z+y\cdot z-z^2=$ $x^2-y^2-z^2+2y\cdot z=x^2-\left(y^2-2x\cdot z+z^2\right)=x^2-\left(y-z\right)^2$

Irgendwo musst Du ein Vorzeichen falsch berechnet haben, so dass auch "xz" bei Dir rausgefallen ist.

Answer 4

[Halbrecht]

Ich hoffe nicht ,dass du zu deiner Lösung durch x*x und -y*y und z*-z gekommen bist .

Entweder man multipliziert alles aus , was zu neun Summmanden führt und sorgfältig zusammengefasst werden muss .

Oder man ist so geübt , dass man hier die dritte binom Formel erkennt mit a = x und b = (y-z)

Comments

[xXHamzaBamzaXx]

doch genau so wie du es gesagt hast bin ich auf die "lösung" gekommen ^^

Answer 5

[ohwehohach]

Naja, irgendwo wirst Du halt falsch ausmultipliziert haben...

$\left(x\ -\ y\ +\ z\right)\left(x\ +\ y\ -z\right)\ =$ $x^2+xy-xz-yx-y^2+yz+zx+zy-z^2=$ $x^2-y^2+2zy-z^2=$ $x^2-\left(y^2-2zy+z^2\right)=\ \left|\ 2.\ Binomische\ Formel\right|$ $x^2-\left(y-z\right)^2$

Was der Unterschied ist? Das eine ist korrekt, das andere nicht - mehr kann man dazu leider gar nicht sagen...