Kann man statt "putschen" auch "putschieren" schreiben/sagen?

Offenbar kann man das — ich finde einige Zeitungstexte in dienen putschieren vor­kommt, wenn auch putschen viel häufiger vorkommt. Bei Wörtern mit gleicher Be­deu­tung und gleichem Wortstamm, nur unterschiedlicher Wortbildung, setzt sich meist das kürzere der beiden durch, obwohl es dazu natürlich Ausnahmen gibt (z.B. grillie­ren, parkieren als die Standardform in der Schweiz).

Nein.

Das Miltär putscht. Es putschiert nicht, weil es das Wort nicht gibt.

Nein, denn das Wort gibt es nicht.