Kann man einen 60 Grad Winkel dritteln? Wenn nicht, gibt es einen Beweis?
Hallo.
Kann man einen 20 Grad Winkel, durch die Drittlung eines 60 Grad-Winkels konstruieren?
Gibt es einen Beweis, dass es (nicht) möglich ist?
4 Antworten
Worin läge die Schwierigkeit der Drittelung eines Winkels? Darf man kein Geo-Dreieck verwenden?
Ich würde einfach den Winkel ausmessen, die Gradzahl durch 3 teilen und mir Markierungen für die kleineren Winkel machen, indem ich mein Geo-Dreieck entsprechend anlege. Dann verbinde ich den Ursprung des Winkels mit den beiden Markierungen durch jeweils eine Linie.
Oder denke ich zu pragmatisch und nicht mathematisch genug?
Und wenn ich mir ein Dreieck mit 20, 70 und 90 Grad bastel, dann geht das besonders gut ;-)
Oder denke ich zu pragmatisch und nicht mathematisch genug?
So ist es. Solche Konstruktionen müssen alleine mit Zirkel und einem nicht unterteilten Lineal durch geführt werden. Messen ist nicht genau genug. Eine mathematische Dreiteilung eines Winkels ist genau so wenig möglich wie die Quadratur des Kreises.
Welchen Sinn hat es, zeichnerische Konstruktionen mit einem Zirkel und einem nicht unterteilten Lineal durchzuführen? Hat das irgendeine Bedeutung für das reale Leben oder die Berufswelt?
Dass so ein Zirkel ultimativ genau ist, wage ich auch zu bezweifeln. Wenn die Feststellschraube nicht ganz fest ist, kann sich der Winkel zwischen den Zirkelschenkeln während des Kreisbogenziehens ändern. Die Mine am Zirkel zeichnet einen Kreisbogen, dessen Linienbreite etliche Mikrometer beträgt. Ein "Punkt", an dem sich zwei Linien oder Kreisbögen kreuzen, hat eine endliche Ausdehnung.
Wenn man ein Computerprogramm zum Zeichnen benutzt, kann man einen Winkel mit beliebiger Genauigkeit in so viele Teilstücke zerlegen, wie man möchte.
Oder denke ich zu pragmatisch und nicht mathematisch genug?
Konstruktionen mit Zirkel und Lineal sind axiomatische Konstruktionen. Vielleicht schaust du dir mal Euklids "Elemente" an, um das zu verstehen.
Wenn man ein Computerprogramm zum Zeichnen benutzt, kann man einen Winkel mit beliebiger Genauigkeit in so viele Teilstücke zerlegen, wie man möchte.
Nur dann wenn du die Gradzahl des Winkels kennst, und dann auch nur in der Genauigkeit, die das Programm zuläßt. Bei der
https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels
geht es aber darum, einen beliebigen Winkel, dessen Gradzahl du nicht kennst und auch nicht messen kannst (und darfst -> Genauigkeit!) zu dritteln. Die Unmöglichkeit, dies für beliebige Winkel zu tun, wurde erst 1837 bewiesen.
Kann man dann solche Winkel wenigstens halbieren, und in der Folge auch vierteln, achteln, sechzehnteln usw.? Und wer entscheidet, ob man das dann korrekt gemacht hat, oder ob man zu ungenau gewesen ist?
Natürlich kannst du einen Winkel halbieren. Ziehe einen Kreisbogen mit Mittelpunkt Winkelursprung durch die Schenkel, ziehe zwei Kreisbögen mit gleichen Radien mit Mittelpunkt der beiden Schnittpunkte, ziehe eine Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen (und automatisch durch den Winkelursprung). Auch das hat Euklid als erster nieder geschrieben. Bitte lies dir den Wiki-Artikel zum Thema durch.
Du kannst das per Hand gar nicht genau genug machen. Ich sagte schon, es ist eine axiomatische Methode, um zu beweisen das etwas machbar ist (oder eben nicht). Diese geht von der Annahme aus, dass die Punkte und Geraden, die Zirkelspitze und der Kreisbogen etc. alle im mathematischen Sinn exakt sind, d.h. dass sie keine Ausdehnung haben.
Ich würde dir empfehlen, dich ein wenig mit dem axiomatischen Aufbau der Mathematik (und wenn du sehr mutig bist und auf Gehirnverknotung stehst auch mit dessen Grenzen) zu beschäftigen, wenn du an solchen Diskussionen qualifiziert teilnehmen möchtest.
Ihr Mathematiker könnt auch gerne untereinander qualifiziert diskutieren. Aber solche banalen Dinge wie die Halbierung eines Winkels wisst ihr ohne hin schon.
Ich dachte nur, auch als interessierter Laie könnte man hier eine Frage stellen, ohne sich zuvor umfassend aus anderen Quellen, die es garantiert gibt, informiert zu haben und somit die Frage überflüssig zu machen.
Nein, kann man nicht.
Ein ähnliches Thema hatten wir doch gerade mit einem 110-Grad-Winkel.
Man kann keinen 20-Grad-Winkel mit Zirkel und Lineal konstruieren, denn dann könnte man ein regelmäßges Achtzehneck konstruieren). Den Beweis (von Carl Friedrich Gauß) kenne ich nicht, er führt aber in die Abgründe der Zahlentheorie.
https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon#Kriterium_f%C3%BCr_Konstruierbarkeit
:) Die Schwierigkeit liegt in der unterlassenen Benutzung des Geodreiecks.