Kann man ein Auto ohne Thermostat laufen lassen ohne Schäden zu befürchten?

Nein:

Es gibt bei Motoren zwei Kühlkreisläufe. Der Thermostat koppelt den Motor vom Wasserkühler ab und sorgt so dafür dass der Motor schnell warm wird. Ist er warm genug und benötigt Kühlung, öffnet sich der Thermostat und die Kühlfläche des Radiators wird mit genutzt.

Ohne Thermostat hat man zwei Möglichkeiten:

a) Man sorgt für eine permanente Verbindung zum großen Kühlkreislauf:

Der Motor wird viel langsamer warm. Der Verschleiß steigt bei jedem Kaltstart enorm da die Bauteiltoleranzen auf warmen Motor ausgelegt sind.

b) Man verschließt den Zugang zum Radiator:

Der Motor wird zwar schnell warm, überhitzt dann aber extrem. Ein Motorschaden tritt sehr schnell ein.

Wenn Du das Kühlwasser-Thermostat meinst - ja, der Motor läuft trotzdem. Es dauert allerdings lange, bis er seine Betriebstemperatur erreicht.

Ein hängengebliebenes Thermostat (offen hängengeblieben) erkennt man daran, daß die Temperaturanzeige im kalten Bereich bleibt. Die Heizung wird u.U. nur lauwarm.

Ja, kann man. Das einzige, was passieren wird (und auch nur in Fahrt): Das Kühlmittel wird nicht so warm werden, wie es vorgesehen ist. Überhitzen wird da nichts. Das Thermostat dient ausschließlich dazu, das Kühlmittel des Motors möglichst schnell zu erwärmen, einerseits, um im Winter die Heizung so schnell wie möglich ansprechen zu lassen, andererseits, um die schadstoff, - und verbrauchsintensive Kaltstartanreicherung so schnell wie möglich deaktivieren zu können.

zum testen auf jeden fall,nur nicht im dauer oder fahrbetrieb.der motor kommt nicht auf betriebstemperatur und hat mehr verschleiß wie normal

Dann erreicht der Motor schwer bis gar nicht die Betriebstemperatur während der Fahrt.