Kann man die Parameterkurve einer Evolvente in eine Funktion umwandeln?

Hallo zusammen,

ist es möglich, die Parameterkurve einer Evolvente, welche die Form:

x(t) = r * ( cos(t) + t * sin(t) )

y(t) = r * ( sin(t) - t * cos(t)

besitzt, als Funktion y=f(x) zu schreiben. Wenn nein, warum nicht?! Welche mathematische Begründung gibt es dafür. Danke im Voraus.

Answer 1

[Plejaden123]

$\frac{x}{r}=\cos t+t\cdot\sin t$

Annahme :

$x=a\cdot r\ ,\ a\ \in\mathbb{R}$

$a=\cos t+t\cdot\sin t\ \ ->\ a-\cos t=t\cdot\sin t$ $\frac{a-\cos t}{\sin t}=t$

Vergleichsweise mit :

$x=\sin x\$ D.h. ohne den Newton Verfahren kann man es nicht loesen, somit auch nicht Umformen nach x, bzw. nicht Umformbar fuer oben nach t.

Answer 2

[ralphdieter]

Natürlich geht das nicht: Bei einer Funktion muss laut Definition der Wert y(x) für jedes x eindeutig sein.

Deine Kurve hat z.B. für t=0 und t=2π den gleichen x-Wert, aber verschiedene y-Werte.

Comments

[Traderjoe007]

Es hätte ja sein können, dass eine Möglichkeit existiert, die Funktion nur auf einem gewissen Intervall (Pi/2) zu definieren.

[gauss58]

@Traderjoe007

Beides ist m.E. richtig. Es ist keine Funktion, da nicht eindeutig, aber das gilt auch für die Kreisgleichung und andere Kurven. Insofern muss man die Definitionsmenge(n) bzw. Intervalle entsprechend anpassen.

Was stört, ist die Kombination von t und sin(t) bzw. cos(t). Mir ist ein Fall bekannt, wo eine Gleichung angegeben werden kann und zwar für die Zykloide: x = rt - c * sin(t) ; y = r - c * cos (t) und als Gleichung: x = r * arccos ((r-y) / c) - Wurzel (c^2 - (r - y)^2). Ein entsprechendes Beispiel für die Evolvente kenne ich nicht.