Die erste und zweite Goniometrische Gleichungen Lösen?

Die Aufgabenstellung lautet:

Bestimmen sie für das Intervall von 0grad bis 360grad die Lösungen der folgenden Gleichungen.

Answer 1

[ProfFrink]

$\tan\left(\alpha\right)\cdot\tan\left(2\alpha\right)=\tan\left(\alpha\right)\cdot\frac{2\cdot\tan\left(\alpha\right)}{1-\tan^2\left(\alpha\right)}=1$ $2\cdot\tan^2\left(\alpha\right)=1-\tan^2\left(\alpha\right)$ $3\cdot\tan^2\left(\alpha\right)=1$ $\tan\left(\alpha\right)=\sqrt{\frac{1}{3}}$ $\alpha=\arctan\sqrt{\frac{1}{3}}=30°$ Die zweite Gleichung

$\sin\left(\alpha\right)-1\frac{1}{2}\cos\left(\alpha\right)=0$ $\sin\left(\alpha\right)=\frac{3}{2}\cos\left(\alpha\right)$ $\sin^2\left(\alpha\right)=\frac{9}{4}\cos^2\left(\alpha\right)$ $1-\cos^2\left(\alpha\right)=\frac{9}{4}\cos^2\left(\alpha\right)$ $1=\frac{13}{4}\cos^2\left(\alpha\right)$ $\alpha=\arccos\sqrt{\frac{4}{13}}=56,3°$

Ich ergänze, dass nach Lösungen (Plural) gefragt ist. Also soll hier die Vieldeutigkeit der Arkusfunktionen abgefragt werden. Auch die Wurzeln sind zweideutig. Somit fängt die richtige Arbeit jetzt erst an. Aber ohne mich.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Seran004]

Könntest du mir auch noch bei den Aufgaben 7 und 8 helfen bitte 🙏🏾?

[ProfFrink]

@Seran004

Stöbere ein wenig in den Additionstheoremen bis Du fündig wird. Ist wie Schatzsuche und macht Spaß. Dort findest Du Beziehungen die es erlauben entweder den Sinus durch den Tangens auszudrücken oder umgekehrt. Zum Beispiel: sin(x) = tan(x)/sqrt(1+tan^2(x)) und umgekehrt

tan(x)=sin(x)/sqrt(1-sin^2(x))

[Seran004]

@ProfFrink

Ich habe es schon mit den Additionstheoremen probiert, aber es nicht geschafft. Bitte könntest du es mir vorrechnen, es wäre sehr hilfreich und dringend.

[ProfFrink]

@Seran004

Die Aufgaben 7 und 8 sind in der Tat etwas hakelig. Ich habe jetzt nur die Aufgabe 7 vorgerechnet. Die Aufgabe 8 ist ähnlich gestrickt. Wesentlich ist, dass die Additionstheoreme mit dem Wurzelausdruck eine Zweideutigkeit eintragen. Darum muß immer sorgfältig untersucht werden, welches Vorzeichen denn zur Lösung beiträgt. Weiter sind auch die Umkehrfunktionen zu den Winkelfunktionen nur für die Hauptwerte definiert. In Wahrheit gibt es hier auch Vieldeutigkeiten. Ausgerechnet die Werte außerhalb des Definitionsbereiches lösen Deine Gleichungen. Sehr tricky. Die ausgearbeitete Lösung ist in folgendem Link hinterlegt.

Aufgabe 7

[Seran004]

@ProfFrink

Danke für das Ausarbeiten der Lösung, aber ich glaube diese stimmt nicht. In den Lösungen vom Buch ist folgende Lösungsmenge angegeben:

L={0grad;138.6grad;180grad;222.4grad;360grad}

Jetzt bin ich komplett verwirrt

[Seran004]

@Seran004

Zudem klammerst du sin(a) in einem Schritt aus und es verschwindet dann. Hast du dort einfach nachdem du sin(a) ausgeklammert hast durch sin(a) gerechnet ?

[ProfFrink]

@Seran004

0°, 180° und 360° sind natürlich immer richtig, weil da beide Winkelfunktionen verschwinden. Wenn Du aber 138,6° einsetzt, dann wird die Differenz von 0,661 - 0,529 gebildet, was daneben ist. Wenn Du aber 126,87° einsetzt wird die Differenz 0,8 - 0,8 gebildet, was 0 (null) ergibt. - Wäre nicht das erste Mal, dass eine Lösung aus der Literatur nicht stimmt.

[ProfFrink]

@Seran004

Ja, genau!

[ProfFrink]

@ProfFrink

Zudem klammerst du sin(a) in einem Schritt aus und es verschwindet dann. Hast du dort einfach nachdem du sin(a) ausgeklammert hast durch sin(a) gerechnet ?

Ja, genau!

[Seran004]

@ProfFrink

Danke vielmals!

[ProfFrink]

Gib' mir auch ein "Hilfreich". Das ist die Währung mit der hier bezahlt wird.

[ToastToastbrot]

@ProfFrink

Es gibt zu viele User hier die das nicht verstehen, die wollen ihre Antwort und zischen dann ab… ¯\_(ツ)_/¯

Von mir kriegst du aber gerne ein hilfreich, für deine Mühe ;-)

Dir einen schönen Samstag ☃️❄️☃️🍀