Kann eine Funktion 3 Grades 2 Hochpunkte haben?
Die Funktion lautet X^3-3X^2+X
4 Antworten
Da die Nullstellen der Ableitung einer Funktion f die einzigen Kandidaten für Extremstellen von f sind, kann eine ganzrationale Funktion f höchstens soviele Extremstellen haben, wie ihre Ableitung Nullstellen hat.
Da aber die Ableitung f ' einer ganzrationalen Funktion f vom Grade n den Grad n - 1 hat, hat f ' höchstens n - 1 Nullstellen. Somit kann f höchstens n - 1 Extremstellen haben.
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann also höchstens zwei Extremstellen haben. Diese aber können nicht beide Tiefpunkte oder beide Hochpunkte sein, denn zwischen zwei Hochpunkten muss immer auch ein Tiefpunkt liegen und umgekehrt. Eine Funktion mit zwei Hoch- oder Tiefpunkten hätte also mindestens 3 Extremstellen und kann daher keine Funktion 3. Grades sein.
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Für deine Funktion gilt:
f ( x ) = x ^ 3 - 3 x ^ 2 + x
f ' ( x ) = 3 x ^ 2 - 6 x + 1
f ' ( x ) hat zwei Nullstellen, nämlich
x1 = 1 - Wurzel ( 2 / 3 )
und
x2 = 1 + Wurzel ( 2 / 3 )
also kann f ( x ) höchstens zwei Extremstellen haben.
Die zweite Ableitung von f lautet:
f ' ' ( x ) = 6 x - 6 = 6 * ( x - 1 )
Da x1 kleiner als 1 ist, ist 6 * ( x1 - 1 ) kleiner als Null. Somit liegt bei x1 ein Maximum vor.
Da x2 größer als 1 ist, ist 6 * ( x2 - 1 ) größer als Null und somit liegt bei x2 ein Minimum vor.
Wie wärs mit ausrechnen oder im GTR gucken?
Nein, das kann nicht stimmen. Stell dir mal einen Graphen vor, der zwei Hochpunkte hat - was muss zwischen diesen beiden Hochpunkten liegen?
Die Funktion hat nicht zwei Hochpunkte, sondern einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Keine Funktion nach dem Schema y=ax³+bx²+cx+d kann zwei Hochpunkte haben.
Nein, stell dir doch einfach mal die Kubikfunktion an, die hat noch nicht einmal eine lokale Extremstelle, nur einen Wendepunkt. Ansonsten schließe ich mich JotEs an.
Ich habe es ausgerechnet! Und es kommt raus, dass die Funktion 2 Hochpunkte hat.. ich weiß nicht ob das stimmen kann