Wieso kann eine Funktion 2. Grades keinen Wendepunkt besitzen?
Vielen Dank im Voraus
7 Antworten
Erstmal eine Funktion 2 grades zeichnen ( parabel) und eine Parabel besitzt nur EINEN Extrempunkt und wendet nicht, da es nur entweder erst:
fallen-> tiefpunkt-> steigen
oder
steigen-> hochpunkt-> fallen
( also weil es nur einen Extrempunkt besitzt)
Also wendet es sich nirgendwo :)
Bei der Funktion 3. Grad ist es anders, aber da du jetzt nur von der Funktion 2.grad gefragt hast, hoffe ich dass dir diese Antwort weiter geholfen hat 😁
Eine Funktion 3. Grades hat maximal einen, stimmt das? Und ich hab irgendwo einmal gelesen, dass diese auch einen besitzen MUSS... wieso ist das denn der Fall?
Die allgemeine Funktion 3. Grades lautet f(x)=a*x^3+b*x^2+cx+d mit a≠0 Die Funktion hat einen Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. Die 2. Ableitung f′′(x)=6a⋅x+2b ist eine lineare Funktion, die an der Stelle xW=−b/3a eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. An dieser Stelle der Rechnung wird die Voraussetzung a≠0 benötigt. Durch Einsetzen von xW∈f(x) kannst Du dann noch yW=f(xW) berechnen. Oder wenn eine Funktionen 3 grad. Einen hoch und tiefpunkt hat , dann muss es sich zwischen den Extrempunkten wenden : bsp. Du hast einen graph erstmal steigt es bis zu einem hochpunkt und dann folgt ein Wendepunkt bis zu einem tiefpunkt und nach dem erreichten teifpunkt steigt der Graph wieder. Aber die funktion: f (x)=x^3 verläuft vom negativen zum positiven aber der Graph besitzt an der stelle 0 erstmal einen Sattelgurt und merke ein sattelpinkt ist gleichzeitig ein Wendepunkt, so könnte man das auch begründen :)
Eine Funktion zweiten Grades hat die folgende Form:
f(x) = ax² + bx + c mit a ≠ 0 (sonst wäre es eine Funktion 1. Grades)
Für jegliche Eigenschaften der Funktion macht es Sinn, erstmal die Ableitungen zu bilden:
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a
Die Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x) = 0.
Also muss in unseren Fall gelten, dass 2a = 0. Das gilt, wenn a = 0, was wir aber oben schon im Voraus ausgeschlossen haben.
Wäre a = 0, wäre der Funktionsterm bx + c und damit eine lineare Funktion.
Daraus folgt automatisch, dass eine Funktion zweiten Grades niemals einen Wendepunkt haben kann.
Logisch kann man es sich folgendermaßen herleiten: Eine Funktion zweiten Grades ist eine Parabel. Eine Parabel hat einen Extrempunkt, nämlich den Scheitelpunkt, ansonsten verläuft sie gegen Unendlich oder minus Unendlich, hat also keine weiteren besonderen Punkte - einen Wendepunkt schon gar nicht.
LG Willibergi
Hallo,
ganz einfach:
Eine quadratische Funktion bzw. Parabel hat die allgemeine Form:
f(x)=ax^2+bx+c
Für einen Wendepunkt gilt:
f''(x)=0
Zuerst die 1.Ableitung bilden:
f'(x)=2ax+b
Dann die 2.Ableitung erschließen:
f''(x)=2a
Somit ist f''(x) ungleich 0.Daher besitzt eine quadratische Funktion keinen Wendepunkt.Wenn 2a nun 0 wäre,dann gälte:
f(x)=0x^2+bx+c
-->f(x)=bx+c
Das entspricht einer linearen Funktion,welche streng monoton abnehmend/steigend ist.Folglich kann es also auf gar keinen Fall einen Wendepunkt geben.
Liebe Grüße
Hier taucht ein Denkfehler auf. Wieso soll ein Graf, der ein relatives Minimum hat, das gleichzeitig sein absolutes ist ( Parabel ) keinen " Schlenker " machen? Vorstellbar ist eine Funktion mit 4 711 WP durchaus. Die einzige Einschränkung: Zwischen Maximum und Minimum muss mindestens EIN WP liegen.
Nein denk an die notwendige Bedingjng; die zweite Ableitung eines Polynoms 2. Grades verschwindet identisch.
Viel wichtiger: Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )
" KEIN ===> Kegelschnitt ( Ellipse, Parabel, Hyperbel ) besitzt WP. "
Da eine Funktion 2. Grades einen Extrempunkt hat, kann sie nirgends einen Wendepunkt besitzen. Das wäre nur bei einer Funktion 3. Grades der Fall.
Und würde es rechnerisch auch so stimmen?:
f(x)= x^2
f'(x)= 2x
f''(x)= 2
0=2 -> Aussage ist falsch, deshalb keinen Wendepunkt, weil die 2. Ableitung keine Nullstelle aufweist?