Wieso kann eine Funktion 2. Grades keinen Wendepunkt besitzen?

7 Antworten

Eine Funktion zweiten Grades hat die folgende Form:

f(x) = ax² + bx + c mit a ≠ 0 (sonst wäre es eine Funktion 1. Grades)

Für jegliche Eigenschaften der Funktion macht es Sinn, erstmal die Ableitungen zu bilden:

f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a

Die Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x) = 0.

Also muss in unseren Fall gelten, dass 2a = 0. Das gilt, wenn a = 0, was wir aber oben schon im Voraus ausgeschlossen haben.

Wäre a = 0, wäre der Funktionsterm bx + c und damit eine lineare Funktion.

Daraus folgt automatisch, dass eine Funktion zweiten Grades niemals einen Wendepunkt haben kann.

Logisch kann man es sich folgendermaßen herleiten: Eine Funktion zweiten Grades ist eine Parabel. Eine Parabel hat einen Extrempunkt, nämlich den Scheitelpunkt, ansonsten verläuft sie gegen Unendlich oder minus Unendlich, hat also keine weiteren besonderen Punkte - einen Wendepunkt schon gar nicht.

LG Willibergi

Hallo,

ganz einfach:

Eine quadratische Funktion bzw. Parabel hat die allgemeine Form:

f(x)=ax^2+bx+c

Für einen Wendepunkt gilt:

f''(x)=0

Zuerst die 1.Ableitung bilden:

f'(x)=2ax+b

Dann die 2.Ableitung erschließen:

f''(x)=2a

Somit ist f''(x) ungleich 0.Daher besitzt eine quadratische Funktion keinen Wendepunkt.Wenn 2a nun 0 wäre,dann gälte:

f(x)=0x^2+bx+c

-->f(x)=bx+c

Das entspricht einer linearen Funktion,welche streng monoton abnehmend/steigend ist.Folglich kann es also auf gar keinen Fall einen Wendepunkt geben.

Liebe Grüße 

Erstmal eine Funktion 2 grades zeichnen ( parabel) und eine Parabel besitzt nur EINEN Extrempunkt und wendet nicht, da es nur entweder erst:
fallen-> tiefpunkt-> steigen
oder
steigen-> hochpunkt-> fallen
( also weil es nur einen Extrempunkt besitzt)
Also wendet es sich nirgendwo :)

Bei der Funktion 3. Grad ist es anders, aber da du jetzt nur von der Funktion 2.grad gefragt hast, hoffe ich dass dir diese Antwort weiter geholfen hat 😁

Eine Funktion 3. Grades hat maximal einen, stimmt das? Und ich hab irgendwo einmal gelesen, dass diese auch einen besitzen MUSS... wieso ist das denn der Fall?

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Die allgemeine Funktion 3. Grades lautet f(x)=a*x^3+b*x^2+cx+d mit a≠0 Die Funktion hat einen Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. Die 2. Ableitung f′′(x)=6a⋅x+2b ist eine lineare Funktion, die an der Stelle xW=−b/3a eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat. An dieser Stelle der Rechnung wird die Voraussetzung a≠0 benötigt. Durch Einsetzen von xW∈f(x) kannst Du dann noch yW=f(xW) berechnen. Oder wenn eine Funktionen 3 grad. Einen hoch und tiefpunkt hat , dann muss es sich zwischen den Extrempunkten wenden : bsp. Du hast einen graph erstmal steigt es bis zu einem hochpunkt und dann folgt ein Wendepunkt bis zu einem tiefpunkt und nach dem erreichten teifpunkt steigt der Graph wieder. Aber die funktion: f (x)=x^3 verläuft vom negativen zum positiven aber der Graph besitzt an der stelle 0 erstmal einen Sattelgurt und merke ein sattelpinkt ist gleichzeitig ein Wendepunkt, so könnte man das auch begründen :)

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Bitte hoffe du hast es gut verstanden:))

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