Ist bei Verknüpfungstafeln von Gruppen immer kommutativität gegeben wenn ja wie beweist man es?
Könnte man es beispielsweise hier nachweisen wenn ja wie?
1 Antwort
Bei Kommutativität ist die Verknüpfungstabelle symmetrisch. Symmetrisch in dem Sinne wie Symmetrie einer Matrix.
Die Verknüpfungstabelle einer nicht-abelschen Gruppe ist nicht symmetrisch und Kommutativität ist nicht gegeben. Das kleinste Beispiel einer nicht-abelschen Gruppe ist die S₃ mit 6 Elementen.
Inwiefern gegeben? Wenn die Verknüpfungen für jedes Paar explizit gegeben sind, gilt Kommutativität, wenn für jedes Paar a*b = b*a gilt, was man an der Verknüpfungstabelle durch die Symmetrie sieht.
Ja nur war zunächst die Aufgabe die Verknüpfungstabelle auszufüllen, wobei ich eben das kommutativgesetzt eingesetzt habe. Jedoch war dies nicht bestätigt, da die abelsche Gruppe nicht erwähnt wurde. Daher wollte ich noch vorher einen Beweis für die Kommutativität erbringen
In dem Fall ist Kommutativität gegeben, weil jede Gruppe mit unter 6 Elementen abelsch ist. Im Allgemeinen weiß man das aber nicht direkt, wenn nur eine unvollständige Verknüpfungstabelle gegeben ist. Die Gruppenaxiome ohne Kommutativität reichen hier aber. Insbesondere kommt in jeder Spalte und Zeile ein Element genau einmal vor und es gibt genau ein neutrales Element.
Die Kommutativität aller Gruppen mit 4 Elementen kann man durch einen Widerspruchsbeweis zeigen:
Seien a,b zwei Elemente, für die gilt: ab = c ≠ d = ba. Ein Element davon muss das neutrale sein. Jedes Element kommutiert mit dem neutralen (falls a oder b neutral) und jedes rechtsinverse Element ist auch linksinvers und umgekehrt (falls c oder d neutral). Man kann also nicht a,b finden, sodass ab = c ≠ d = ba.
Könnte man das kommutativ Gesetz auch einfach durch die gegebenen Verknüpfungen nachweisen?