Warum gibt es nicht die Menge aller Gruppen, sondern nur die Klasse aller Gruppen?

Für jede Kardinalität K gibt es eine (bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte) freie Gruppe mit K Erzeugern. Würden wir all diese Gruppen in eine Klasse zusammenfassen, wäre das eine Klasse, die "gleichmächtig" zur Klasse aller Kardinalitäten ist. Letztere ist aber eine echte Klasse, also muss die Klasse all dieser Gruppen ebenfalls eine echte Klasse sein.