3 Antworten
a x e = e^(a x) |:e^(a x)
a x e e^(–a x) = 1 |:e
a x e^(–a x) = 1/e |*(–1)
(–a x) e^(–a x) = –1/e |W(...)
–a x = –1 |:a
x = 1/a
Man beachte, dass W(–1/e) = –1.
Nicht elementar.
Man kann die Gleichung zu
umformen und die Lambertsche W-Funktion (die analytische Fortsetzung des Produktlogarithmus) anwenden:
Damit ergibt sich schließlich
als Lösung. Beachte, dass die Lösung nicht eindeutig ist, weil die Lambertsche W-Funktion mehrere Zweige hat.
Auch die Berechnung der Lambertschen W-Funktion erfolgt aber natürlich numerisch approximativ (genauso wie die elementarer Funktionen aber auch, etwa des Logarithmus).
Was verstehst du unter Äquivalenzumformung? Jede Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen nach jeder Variable aufgelöst werden, nur eben nicht immer ausschließlich durch elementare Funktionen und unter diese fällt die Lambertsche W-Funktion typischerweise nicht. Welche Gleichungen elementar aufgelöst werden, damit beschäftigt sich die Algebra.
Beachte, dass die Lösung nicht eindeutig ist, weil die Lambertsche W-Funktion mehrere Zweige hat.
Das stimmt erstmal, aber nur für das offene Intervall (–1/e, 0). W(–1/e) ist eindeutig, nämlich –1.
Ja, da hast du Recht. Ich hab es aus Zeitgründen nicht weiter ausgerechnet oder spezifiziert, sondern nur benannt, aber dein Einwand ist natürlich völlig richtig.
Gute Frage. Probieren wir es mal so:
danke ,
dann ist der Wunsch des FS hier , mit Äquivalenzumformungen zum Ziel zu kommen nicht erfüllbar ?