Hilfe zu Aufgabe 4.1.4 Vektorrechnung?

Wann genau brauche ich zur Schnittwinkelberechnung den Vektor v?

Kann mir bitte jemand diese Rechnung etwas erklären?

Dankeschön :)

Comments

[PWolff]

Willst du wissen

• warum du v benötigst und nicht einen anderen Vektor?
• warum man diese beiden Vektoren benötigt?
• woher die Formel für Schnittwinkel kommt?

[Helicopterrrr]

Alles irgendwie. Ich verstehe diese Aufgabe nicht

Answer 1

[IanXY]

Ich kann gerne mal versuchen, das in meinen eigenen Worten und mit meinem eigenen Rechenweg wiederzugeben :)

Teil 1) Für den ersten Teil der Aufgabe (Schnittpunktberechnung) setzt du im wesentlichen die beiden Geraden gleich, also:

$(1,2,3)+t·(-4,-2,-2)=(4,1,6)+s·(1,3,-1)$

Aus den einzelnen Komponenten der Vektoren (ich kann sie hier leider nicht vertikal aufschreiben), ergibt sich dann ein lineares Gleichungssystem:

$1−4t=4+s$ $2−2t=1+3s$ $3−2t=6−s$

Das kannst du entweder per Hand (z.B. mit dem Gauß-Verfahren) oder mit dem Taschenrechner berechnen und bekommst die Lösung

$t=-1,\ s=1$

Jetzt kannst du z.B. mit dem Wert von t und der Geradengleichung von g die Koordinaten des Schnittpunktes bekommen:

$g(−1)=(1,2,3)+(−1)⋅(−4,−2,−2)=(5,4,5)$

Teil 2) Der Schnittwinkel von zwei Geraden ergibt sich aus dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren. Den kann man berechnen mit der Formel:

$\cos(x)=\mid\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\mid\vec{u}\mid\ \cdot\ \mid\vec{v}\mid}\mid$

Also der Kosinus des Winkels ergibt sich durch das Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge.

Wie du aus den vorherigen Aufgaben weißt, ist der Richtungsvektor von g der Vektor

$\vec{AB}$ und der Richtungsvektor von h

$\vec{v}$

Damit ergibt sich:

$\cos\left(x\right)=\mid\frac{\vec{AB}\cdot\vec{v}}{\mid\vec{AB}\mid\cdot\mid\vec{v}\mid}\mid=\mid\frac{-8}{\sqrt{24}\cdot\sqrt{11}}\mid\approx0,4924$

Dann kannst du den Schnittwinkel berechnen (das hier ist nur der Kosinus), indem du

$\arccos\left(0,4924\right)$

oder

$\cos^{\ -1}\left(0,4924\right)$

berechnest (entweder mit dem Taschenrechner oder einer Formelsammlung).

Das ergibt dann gerundet 60,5 (im Gradmaß).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Informatik 👨‍💻

Comments

[Helicopterrrr]

Aaachsooo! Dankeschön!

Richtungsvektoren brauche ich für die Formel, das war der Begriff.

Und auch gut erklärt hast du es! :)

[IanXY]

@Helicopterrrr

Danke! :) Freut mich, dass ich helfen konnte 😊