Hilfe bei Modulo-Rechnung?
Hallo, hätte da eine kleine Frage an euch. Wie berechnet man diese Aufgabe (bitte mit Rechenwegen und Erklärungen)?:
(79 x 102² - 53) mod 5
Wäre sehr dankbar für Erklärungen.
4 Antworten
Modulo-Rechnung hat immer den Rest zum Ergebnis.
(79 x 102² - 53) wird zunächst ausgerechnet und ergibt 821 863 laut Taschenrechner. (Den Rechenweg wolltest Du ja dazu)
821 863 mod 5 bedeutet nun folgendes:
Welche größtmögliche Zahl zwischen 0 und 821 863 ist durch 5 teilbar, und das so, dass sich im Ergebnis keine Nachkommastelle ergibt?
Antwort: 821 860 ist durch 5 teilbar. Die 821 863 selbst nicht.
Hier haben wir also noch einen Rest, den wir nicht durch 5 teilen können, nämlich 3.
Rechenweg: 821 863 - 821 860 = 3
Das Ergebnis:
(79 x 102² - 53) mod 5 = 3
Bei mod 5 ist nur die Einerziffer interessant. Du mußt dir also überlegen, welche Einerziffer bei der Rechnung raus kommt und warum. Hinweis: es ist die 3.
Die Einerziffer ist die letzte Ziffer einer Zahl, die Stelle mit dem Einer. Berechnen kann man das leicht im Kopf. Bsp. 1234567x7654321 hat als Einerstelle 7x1 = 7. 1234567x765432 hat als Einerstelle die letzte Ziffer von 7x2 = 14, also 4.
Genau so gehst du nun bei den in der Rechnung gegebenen Zahlen vor. Modulo 5bedeutet, den Rest der bei der Division durch 5 rauskommt zu nehmen. Wie gesagt, da kommt es nur auf die letzte Stelle an, ist die letzte Stelle von x 0, ist x mod 5 = 0. Ist sie 2, ist x mod 5 = 2, ist sie 6 ist x mod 5 = 1.
102^2 Da überlegst welche die letzte Ziffer ist (Einerzahl) Du musst nicht, kannst es aber natürlich, die ganze Zahl ausrechnen (dann so weitermachen, also mit 9 multiplizieren und so weiter)
Wenigstens einer, der die Rechnung nicht hirnlos in den Taschenrechner haut.
Taschenrechner? Du meinst Rechenhirnverblödungsgeräte, oder?
Eine der wichtigsten Eigenschaft der Kongruenz modulo einer Zahl (hier die 5) ist, die, dass man bei Summen und Produkten diese nicht etwa erst einmal ausrechnen muss, sondern dass man die Summanden bzw. Faktoren direkt modulo der Zahl betrachten darf:
Es gilt:
79 kongr -1 mod 5
102 kong 2 mod 5
53 kong 3 mod 5
also
79 * 102² - 53 kong -1*2*2 -3 kong -7 kong 3 modulo 5.
Man soll gerade nicht erst "alles ausrechnen" und dann das Ergebnis traktieren, wenn man den Wert der Kongruenz kennenlernen will.
Z.B., was ist 99^100000 modulo 5? ("99 hoch 100000"). Mit "Ausrechnen" hast du keine Chance, aber es ist ja 99 kong -1 mod 5 und damit
99^100000 kong (-1)^100000 kong 1 mod 5
weil 100000 eine gerade Zahl ist. (Eine Potenz von -1 zu einer geraden Hochzahl ist 1, erst recht kong 1 mod 5.)
Zuerst muss du die Klammer berechnen:
79 * 102² -53 = 821863
Das Ergebnis rechnest du dann Modulo 5:
(Falls du es nicht weißt, bei mod rechnet man den Rest der Division aus)
821863 / 5 = 164372,6
Davon ist jetzt die Nachkommazahl relevant also 0,6
Diese rechnest du mal die mod Zahl also 5
0,6 * 5 = 3
Und das ist dein Ergebnis
Sowas ist viel zu aufwendig, es lässt sich viel leichter lösen, wenn man die Eigenschaften von Modulo betrachtet, dann braucht man sogar nichtmal einen Taschenrechner dafür
Welche Einerziffer und wie berechnet man diese?