Was ist hier meine Fehler in der Berechnung?
2^15 modulo 14 berechnen
2^15 = 32768 => 32768 mod 14 = 8 soweit klar
Bei Rechnung modulo m kann man den Rechenausdruck durch seinen Rest ersetzen z. B. bei Addition, Subtraktion, Multiplikation sowie die Basis
2^15 = (2^10)^5 selbe wie: 2^10 * 2^5
1024^5 Ich ersetzte nun 1024 durch seinen Rest 1024 mod 14 = 2. Der Exponent bleibt gleich.
d. h. (2)^5 nun rechne ich 2^5 aus und erhalte 32
32 mod 14 = 4 und nicht 8 = 32768 mod 14
Was ist hier meine Fehler in der Berechnung?
4 Antworten
Du hast 2^15, zerlegst in 2^10*2^5.
2^10 = 2 mod 14 , 2^5 = 4 mod 14 => 2^15 = (2*4) mod 14
Diese Umformung ist falsch:
2^15 = (2^10)^5
Wie kommst du darauf? Das rechte ist (2^10)^5 = 2^(10⋅5) = 2^50.
Du könntest zB 2^15 = 2^(5⋅3) = (2^5)^3 rechnen.
2^5 = 32 ≡ 4 (mod 14)
4^3 = 64 ≡ 8 (mod 14)
(2^10)^5 = 2^50
Vielen Dank. Stimmt
2^15 = 2^(10 +5) = 2^10 * 2^5
Potenzgesetze.
Kleiner Tipp: Der kleine Satz von Fermat.
- a^p mod p = a
- a^(p-1) mod p = 1
Dies gilt, wenn p eine Primzahl und a eine natürliche Zahl ist.
Vielleicht hilft Dir das bei späteren Aufgaben.
Hier noch ein Lösungsweg zum im Kopf rechnen:
2^15 mod 14
= (2^5)^3 mod 14
= 32^3 mod 14
= 4^3 mod 14
= 4^2 * 4 mod 14
= 16 * 4 mod 14
= 2 * 4 mod 14
= 8 mod 14