Was passiert wenn ich bei der Multiplikation die Einer der zwei Faktoren vertausche?
Hallo,
ich habe ein Frage zu der folgenden Aufgabe:
a) 24*16=384
26*14=364
b) 32*15= 480
35*12=420
Wir sollen einen Zusammenhang erkennen und diesen begründen.
Ich hätte daran gedacht, dass sich bei dem Ergebnis nur der Zehner verändert ... aber habe keine Ahnung warum.
Kann mir jemand weiterhelfen?
2 Antworten
Ich hätte daran gedacht, dass sich bei dem Ergebnis nur der Zehner verändert
Das ist nicht ganz falsch, aber es ist leider auch nicht völlig richtig.
Schau dir diese Aufgabe an:
27 * 34 = 918
24 * 37 = 888
Hier ändert sich auch die Hunderterstelle. Die Einerstelle bleibt aber unverändert.
Um das Problem zu verstehen und eine richtige Antwort zu finden, brauchen wir Mathematik. Das Spielen mit Beispielen hilft uns nicht, wir brauchen einen allgemeinen Ansatz. Der geht so:
Die erste Zahl sein 10*a + b, die zweite Zahl sein 10*c + d. Dabei sind a,b,c,d ganze Zahlen zwischen 0 und 9.
Jetzt multiplizieren wir die beiden Zahlen:
(10*a +b)*(19*c + d) = 100*a*c + 10*(b*c + a*d) + b*d
Jetzt vertauschen wir die Einer und erhalten die Zahlen 10*a + d und 10*c + b. Wir multiplizieren diese Zahlen:
(10*a + d)*(10*c + b) = 100*a*c + 10*(a*b + c*d) + b*d
Für die Einerstelle erhalten wir in beiden Fällen b*d.
Für die Zehnerstelle erhalten wir unterschiedliche Ergebnisse; wir schliessen daraus, dass die Zehnerstelle des Ergebnisses bei der Vertauschung der Einer nicht unverändert bleiben kann.
Für die Hunderterstelle erhalten wir in beiden Fällen 100*a*c. Man könnte nun denken, dass deshalb auch die Hunderterstelle des Produkts von der Vertauschung der Einer nicht betroffen ist, aber das ist ein Denkfehler:
Die Ausdrücke 10*(b*c + a*d) und 10*(a*b + c*d) können einen Übertrag verursachen, der den Wert der Hunderterstelle verändert.
Es bleibt also die Schlussfolgerung: Bei der Vertauschung der Einerstellen bleibt nur die Einerstelle des Produkts sicher unverändert.
Bilde folgende Differenz und vereinfache diese:
(10a + b) * (10c + d) - (10a + d) * (10c + b) mit a,b,c,d < 10 und a,b,c,d aus |N .
Du hast noch - 10cd vergessen. Der Term lässt sich dann noch wesentlich vereinfachen.
Puh, irgendwie kann ich das gerade nicht ganz nachvollziehen inwiefern kann 10ad+10bc-10ab-10cd noch vereinfach werden?
10ad+10bc-10ab-10cd = 10d*(a-c) + 10b(c-a) = 10*(d - b)*(a - c) .
Da fehlt es aber schon an Grundkenntnissen der Algebra !
Super, danke für deine schnelle Antwort. Am Beispiel klappt das ja so immer. Und was wäre dann eine allgemeine Begründung dazu? Einfach deins aufgelöst ... Also 10ad+10bc-10ab?