Hey, wie würde die erste Ableitung für die folgende Funktion lautet?

Die Funktion lautet:

Vielen Dank.

Answer 1

[mihisu]

Man kann die 3-te Wurzel als Potenz schreiben und erhält...

$g(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}\quad \rightarrow\quad g'(x)=\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{2}{3}}$

Der innere Teil x² + 2x³ sollte dir evtl. weniger Probleme bereiten...

$h(x)=x^2+2\cdot x^3 \quad \rightarrow\quad h'(x)=2\cdot x+2\cdot 3\cdot x^2 = 2x+6x^2$

Nun kann man f(x) als Verkettung dieser beiden Teile sehen und die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel bestimmen...

$f(x)=g(h(x))\quad \rightarrow \quad f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$

$\rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{3}\cdot \left(x^2+2x^3\right)^{-\frac{2}{3}}\cdot \left(2x+6x^2\right)$

$\rightarrow\quad f'(x)=\frac{2x+6x^2}{3\cdot \left(x^2+2 {x}^3\right)^{\frac{2}{3}}}$

Answer 2

[DerRoll]

Schreibe die dritte Wurzel um in ^(1/3) und verwende die Kettenregel und die Potenzregel.

Comments

[Arian88]

Ah, funktioniert diese Aufgabe nur mit der sogenannten Kettenregel?

[DerRoll]

@Arian88

Ja natürlich, das ist doch offensichtlich eine Funktion der Form f(x) = h(g(x)), wobei h(x) die drite Wurzel ist und g(x) eben ein Polynom.