Hat jemand eine Ahnung wie man diese Ortskurve bestimmen könnte?

Hallo liebe Community, ich hatte langweile und habe mich gefragt wie x^y zu Relation stehen wenn x+y ein bestimmten Wert ergeben müssen. Als Beispiel: Das Maximum von x^y als Bedingung das x+y=10 ergibt. Man kann nach y umstellen und erhält x^(10-x). Als maximum erhält man dann das x=4,13 ist und y=5,87, damit man die höchst mögliche zahl erhält. Nun habe ich mich gefragt, was passieren würde wenn man die Scharfunktion x^(a-x) erstellt um eine Ortskurve zu erhalten. Damit könnte man Lösen wie x von y abhängt um den größt möglichen wert zu erhalten. [x^(a-x) (a>0) (x>0)]

Answer 1

[GuteAntwort2021]

Hallo.

Definieren wir erstmal eine entsprechende Funktion, die a-x mit ihrer Bedingung richtig darstellt. Das wäre schlicht

$g\left(x\right)\ =\ -x\ +\ 10$ ermittelt aus den beiden Punkten P1(0|10) und P2(10|0).

Damit erhältst du für x^y und x+y=10 die Funktion

$f\left(x\right)\ =\ x^{\left(-x+10\right)}\ \ \ \mid\ \ \ 0\le x\le10$

Wenn du das nun ableiten möchtest:

$f'\left(x\right)\ =\ -x^{\left(9-x\right)}\ \cdot\ \left(x\cdot\ln\left(x\right)+x-10\right)$

An diesem Punkt solltest du dann nach Lambert-W-Funktion googlen.

Da wir eine weitere Einschränkung vornehmen können, dass x>0 sein muss, lässt sich das Maximum ermitteln aus:

$x+x\log(x)=10$

Aufgelöst ergibt das ca:

$x\ \sim\ 4,133660524288368$

Die 10 kannst du nun auch entsprechend der Summe aus x+y anpassen. Verallgemeinert also:

$x+x\log\left(x\right)=x+y\ \ \ \mid\ \ \ x>0$

Wenn du also das Maximum für x^y suchst während x+y=20 ist, kämst du damit auf ca:

$6,842072913984175^{13,157927086015825}\ \sim\ 97.575.061.512$

LG

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Answer 2

[LUKEars]

also bei WolframAlpha kommt dann sowas raus... sieht aus wie: $x=e^{W(a\cdot e)-1}$ wobei W(·) für „ProductLog“ steht... wobei gilt: $W(z)=w\quad\text{wobei}\quad z=w\cdot e^w$

also geht es wohl oft nur numerisch...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Absolvent/Universität