Grenzwert mit n als Potenz?

Hey!
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. In den Lösungen steht, dass der nächste Schritt 64*(4/5)^n+20/…. Ist. Ich verstehe allerdings nicht, wie man auf 4/5^n kommt. Gibt es dazu eine Regel?

Answer 1

[Halbrecht]

es gibt vier Faktoren mit n als Exponenten ............leider mit zwei verschiedenen Basen (4 u 5) .

nun hat man prinzipiell doch die Möglichkeit zu kürzen : mit 4 hoch n ODER mit 5 hoch n .

kürzen mit 4 hoch n ergäbe das :

$\frac{4\ \cdot\ 1\ \cdot\ 16\ +\ 20\ \cdot\ \left(\left(\frac{5}{4}\right)\ ^{n\ }\right)}{14\ \cdot\ \left(\left(\frac{5}{4}\right)^n\right)\ +\ 5\ \cdot\ 1\ }$ hier entsteht 64 ohne Faktor im Zähler und 5 ohne Faktor im Nenner.

Beides sind gleichwertige Alternativen.

Comments

[gauss58]

Für die Grenzwertbildung n → ∞ ist es sinnvoll, durch 5^n zu dividieren, da (4/5)^n dann gegen Null geht; (5/4)^n geht gegen ∞.

[Halbrecht]

@gauss58

zur Kenntnis genommen.

Answer 2

[gauss58]

So wie es aussieht, wurden Zähler und Nenner durch 5^n dividiert. Dadurch fällt 5^n raus und es entsteht (4/5)^n.

Answer 3

[ralphdieter]

Kürze mit 5ⁿ und schreibe 4ⁿ/5ⁿ als (4/5)ⁿ.