Gesamtwiderstand R?

Die Aufgabe ist es zwar nur Spannung Ux zu berechnen, aber als Klausurvorbereitung wollte ich den Gesamtwiderstand berechnen und da komme ich irgendwie nicht weiter hat jemand Ideen?

R1=25 ohm 

R2 30 ohm 

R3 35 Ohm 

R4 40ohm 

R5 45 ohm 

R6 50 ohm

U=36V

Comments

[Lutz28213]

Wahrscheinlich meinst Du den Widerstand zwischen den 2 Polen der Quelle U? Das musst Du dazu sagen, denn der Widerstand ist zwischen verschiedenen Knoten ist auch unterschiedlich

[hehehesui]

Nein, meine schon den Gesamtwiderstand.

Answer 1

[mihisu]

Ich würde mit Stern-Dreieck-Transformation arbeiten...

Statt dem Stern mit R₁, R₂, R₃ erhält man ein Dreieck mit...

$R_{12}=\frac{R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_3\cdot R_1}{R_3}=\frac{25\,\Omega\cdot 30\,\Omega+30\,\Omega\cdot 35\,\Omega+35\,\Omega\cdot 25\,\Omega}{35\,\Omega}\approx 76\text{,}43\,\Omega$

$R_{23}=\frac{R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_3\cdot R_1}{R_1}=\frac{25\,\Omega\cdot 30\,\Omega+30\,\Omega\cdot 35\,\Omega+35\,\Omega\cdot 25\,\Omega}{25\,\Omega}=107\,\Omega$

$R_{13}=\frac{R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_3\cdot R_1}{R_2}=\frac{25\,\Omega\cdot 30\,\Omega+30\,\Omega\cdot 35\,\Omega+35\,\Omega\cdot 25\,\Omega}{30\,\Omega}\approx 89\text{,}17\,\Omega$

Statt dem Stern mit R₄, R₅, R₆ erhält man ein Dreieck mit...

$R_{45}=\frac{R_4\cdot R_5+R_5\cdot R_6+R_6\cdot R_4}{R_6}=\frac{40\,\Omega\cdot 45\,\Omega+45\,\Omega\cdot 50\,\Omega+50\,\Omega\cdot 40\,\Omega}{50\,\Omega}= 121\,\Omega$

$R_{56}=\frac{R_4\cdot R_5+R_5\cdot R_6+R_6\cdot R_4}{R_4}=\frac{40\,\Omega\cdot 45\,\Omega+45\,\Omega\cdot 50\,\Omega+50\,\Omega\cdot 40\,\Omega}{40\,\Omega}= 151\text{,}25\,\Omega$

$R_{46}=\frac{R_4\cdot R_5+R_5\cdot R_6+R_6\cdot R_4}{R_5}=\frac{40\,\Omega\cdot 45\,\Omega+45\,\Omega\cdot 50\,\Omega+50\,\Omega\cdot 40\,\Omega}{45\,\Omega}\approx 134\text{,}44\,\Omega$

Die Widerstände R₁₂ und R₄₅ sind zueinander parallel geschaltet mit Ersatzwiderstand...

$R_\text{1245}=\left(\frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_{45}}\right)^{-1}\approx \left(\frac{1}{76\text{,}43\,\Omega}+\frac{1}{121\,\Omega}\right)^{-1}\approx 46\text{,}84\,\Omega$

Die Widerstände R₁₃ und R₅₆ sind zueinander parallel geschaltet mit Ersatzwiderstand...

$R_\text{1356}=\left(\frac{1}{R_{13}}+\frac{1}{R_{56}}\right)^{-1}\approx \left(\frac{1}{89\text{,}17\,\Omega}+\frac{1}{151\text{,}25\,\Omega}\right)^{-1}\approx 56\text{,}10\,\Omega$

Die Ersatzwiderstände R₁₂₄₅ und R₁₃₅₆ sind in Reihe zueinander geschaltet und bilden einen Spannungsteiler, der die Spannung U in die Teilspannungen Uₓ (an R₁₂₄₅) und U - Uₓ (an R₁₃₅₆) aufteilt.

$U_x=\frac{R_{1245}}{R_{1245}+R_{1356}}\cdot U\approx \frac{46\text{,}84\,\Omega}{46\text{,}84\,\Omega+56\text{,}10\,\Omega}\cdot 36\,\text{V}\approx 16\text{,}38\,\text{V}$

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Alternativ könnte man auch mit Knoten- und Maschenregel und den Widerständen ein Gleichungssystem aufstellen, was man dann soweit lösen kann, bis man die gesuchte Spannung Uₓ erhält.

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Für den Gesamtwiderstand erhält man übrigens weiter...

$R_\text{ges}=R_{23}\parallel R_{46}\parallel \left(R_{1245}+R_{1356}\right)$

$R_\text{ges}=\left(\frac{1}{R_{23}}+\frac{1}{R_{46}}+\frac{1}{R_{1245}+R_{1356}}\right)^{-1}$

$R_\text{ges}\approx \left(\frac{1}{107\,\Omega}+\frac{1}{134\text{,}44\,\Omega}+\frac{1}{46\text{,}84\,\Omega+56\text{,}10\,\Omega}\right)^{-1}$

$R_\text{ges}\approx 37\text{,}74\,\Omega$

Comments

[hehehesui]

Kannst du vielleicht erklären, wie man solche Parallelschaltungen erkennt? Die Dreieck-Stern Umwandlung ging zwar, aber irgendwie erkenn ich selber die Parallelschaltungen nicht

Answer 2

[ProfFrink]

Schaltungen dieser Art berechnet man am besten mit einer Stern-Dreieck-Transformation.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stern-Dreieck-Transformation

Zur Verdeutlichung und Auffindung der beiden Sterne habe ich Deine Zeichnung leicht umgestaltet.

Die beiden Sterne können in äquivalente Dreieckschaltungen umgerechnet werden, die sich anschließend leichter behandeln lassen.

Diese Zeichnung lässt sich nun in folgende übersichtliche Schaltung umzeichnen.

An dieser Stelle hat mich mihisu auf einen Fehler in meiner ursprünglichen Ersatzschaltung aufmerksam gemacht, der zu einem fehlerhaften Endergebnis

geführt hatte. Nun folgt die korrigierte Verision.

Hier nun die nötigen Transformationsformeln:

Der Gesamtwiderstand kann nun ausformuliert werden.

Eine weitere algebraische Behandlung lohnt hier nicht. Darum folgt hier die numerische Auswertung, wobei ein exaktes Ergebnis angestrebt wird.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[mihisu]

Du hast eine Verbindung im dritten Bild vergessen. Vom Punkt zwischen R12 und R13 müsste noch eine Verbindung rüber zum Punkt zwischen R45 und R56.

Die Widerstände R12 und R13 sind daher nicht in Reihe zueinander geschaltet, und die Widerstände R45 und R56 sind nicht in Reihe zueinander geschaltet. Stattdessen ist R12 parallel zu R45 geschaltet, und R13 ist parallel zu R56 geschaltet; und diese beiden Parallelschaltungen sind dann in Reihe zueinander.

Insgesamt ergibt sich aufgrund des genannten Fehlers bei dir ein um etwa 3,84 mΩ zu großer Gesamtwiderstand.

• Der von dir errechnete Wiederstand wäre 37,741935... Ω.
• Der richtige Gesamtwiderstand wäre 37,738095... Ω.

[Da diese Differenz im Vergleich zum Gesamtwiderstand aber relativ klein ist, merkt man das bei Rundung auf Hunderstel-Ohm nicht, so dass wir beide gleichermaßen auf 37,74 Ω gekommen sind.]

[ProfFrink]

@mihisu

Stimmt, oh wie peinlich.

[isohypse]

@ProfFrink

wäre mir nicht aufgefallen. Zufällig ergab es nämlich fast das selbe, da die Widerstandswerte ziemlich gleich sind :-)

[ProfFrink]

@isohypse

Ja, den kleinen Unterschied hat mihisu schön herausgearbeitet.

Answer 3

[isohypse]

Rges kann man auch mit dem Extra-Element Theorem berechnen: das Extra-Element sei der obere Zweig R15 = R1+R5

Dann ist

• Der Widerstand an den gesuchten Klemmen ohne dem Extra-Element:

$R_0=\left(R_2\ +R_3\right)\left|\right|\left(R_4+R_6\right)$

• Der Widerstand, den R15 sieht, wenn die Klemmen offen sind:

$R_{e\infty}=\left(R_2+R_4\right)\left|\right|\left(R_3+R_6\right)$

• Der Widerstand, den R15 sieht, wenn die Klemmen kurzgeschlossen sind:

$R_{e0}=\left(R_3\left|\right|R_2\right)+\left(R_4\left|\right|R_6\right)$

• Der Gesamtwiderstand ist dann

$R_{ges}=R_0\cdot\frac{R_1+R_5+R_{e0}}{R_1+R_5+R_{e\infty}}$

Das ergibt rechnerisch:

Manchmal geht das schneller als so eine Dreiecks-Stern Umwandlung und man sieht intuitiver, worauf es ankommt.

Comments

[ProfFrink]

Sehr interessant. Das kannte ich noch nicht.

[isohypse]

@ProfFrink

kennen nur wenige 😊

Answer 4

[Blume8576]

Wenn Du die Schaltung umzeichnest sieht sie aus wie eine Brückenschaltung