Extremwertprobleme optimale Form einer Büchse herausfinden?
Die Aufgabenstellung lautet:
Eine quaderförmige Blechbüchse mit dem gegebenen Rauminhalt V habe eine quadratische Grundfläche. Welche Form muss man der Blechbüchse geben damit der Blechverbrauch minimal wird?
Also das Volumen ist ja einfach x³. Der Flächeninhalt ist ja quadratisch also einfach 2×x.
Das was mich verwirrt ist die Aufgabenstellung verlangt die Form der Büchse herauszufinden und das ist ja keine feste Größe für die es eine Formel oder ähnliches gibt. Wie muss meine Hauptbedingung dann lauten?
1 Antwort
Sei a die Kantenlänge der Grundfläche (Quadret) und h die Höhe.
Dann ist V = a² *h
Und der Blechverbrauch (wenn die Büchse oben zu sein soll)
A = 2*a² + 4*a*h.
Mit zwei Variablen ist das etwas blöd, aber wenn V bekannt ist, kann man h = V/a² einsetzen.
A = 2*a² + 4*V/a
Die erste Ableitung nach a ist
A' = 4 *a -4*V/a²
0 = 4*a - 4*V/a²
a = V/a²
a³ = V
Wegen V = a²*h ist h = a (was eigentlich zu erwarten war).