Extremwertaufgaben?
Aus einem 120 cm langen Draht ist ein Kantenmodell eines Quaders herzustellen, so dass der Rauminhalt maximal wird. Wie lang sind jeweils die Kanten, wenn
a) die Grundfläche quadratisch ist?
b) der Quader dreimal so lang wie breit ist?
1 Antwort
a)
quadratische Grundfläche mit Seitenlänge a
Höhe des Quaders h
V=a²*h
Nebenbedingung: 8a+4h=120
nach h auflösen und in V einsetzen, dann ableiten und Ableitung=0 setzen:
4h=120-8a
h=30-2a
einsetzen in V:
V=a²*(30-2a)=30a²-2a³
V'(a)=60a-6a²
V'(a)=0 => a=0 oder a=10
a=0 ist Minimum
Volumen ist für a=10 maximal
die Höhe h ist dann auch 10
der Quader ist also ein Würfel
b)
V=l*b*h=3b*b*h
V=3b²*h
Nebenbedingung: 4l+4b+4h=120 mit l=3b also 12b+4b+4h=120
nach h auflösen und in V einsetzen
16b+4h=120
4b+h=30
h=30-4b
V=3b²*(30-4b)
V=90b²-12b³
V'(b)=180b-36b²
Extremwerte: erste Ableitung = 0
180b-36b²=0
36b(5-b)=0
b=0 oder b=5, also maximales Volumen für b=5
Länge ist dann l=3b=3*5=15
und die Höhe h=30-4*5=10
Wie wird das denn bei b? Tut mir leid aber ich verstehe das gar nicht
Danke könntest du aber zum Ende rechnen? Weil ich nach h auflösen nicht verstehe