MATHE: KURSSTUFE 1 Extremwertaufgabe! Hilfe ich verstehs nicht!
Aus einem Stück Draht der Länge 1m soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden, Wie müssen die Kantenlängen gewählt werden, damit das Volumen des Quaders möglichst groß ist?
2 Antworten
Also das Volumen eines Quaders mit quadratischer Grundfläche ist:
V = a² * b
Und die Kantenlängen sind insgesamt 4 Kanten jeweils an den Grundquadraten, also 8a und 4 lange Kanten b. Und die müssen insgesamt einen Meter lang sein, weil du so viel Draht hast, also:
8a+4b = 1 m
Das löst du zum Beispiel nach b auf:
4b = 1m -8a
b = 1/4 m - 2a
Und das setzt du in die Gleichung für das Volumen ein:
V = a² * b = a² * (1/4m -2a) = a²/4 m - 2a³
Dann leitest du das ab und bestimmst das Maximum:
V ' = a/2 m - 6a² = 0
-6a² + 1/2 m * a = 0
a * (-6a+1/2 m) = 0
Erste Lösung: a = 0, das wäre eher blöd^^
Zweite Lösung: -6a + 1/2 m = 0
6a = 1/2 m
a = 1/12 m = 0,083333... m
Und damit hast du b = 1/4 m -2a = 1/4 m - 2/12 m = 3/12 m - 2/12 m = 1/12 m = 0,83333....
Du musst also die Kantenlängen so wählen, dass ein Würfel entsteht mit der Kantenlänge 1/12 m.
hb: A = a² * b
nb: u = 8a + 4b
100 = 8a + 4b
das sind die beiden bedingungen, jetzt nur noch die nb nach a oder b auflösen, in die hb einsetzen, maximum bestimmen (1. ableitung null setzen) und das ergebnis wieder in die nb einsetzen.
Das sollte V = und nicht A = heißen bei der hb, ist ein Volumen und keine Fläche..Könnte verwirren.
Könnt ihr mir auch weiterhelfen wie ihr diese Aufgabe lösen würdet? ich sitze schon eine halbe stunde daran und komm nicht weiter :( Ich wäre euch wirklich sehr dankbar!
wenn ich nach a auflöse habe ich auf der anderen seite immernoch b . wie soll ich diese variable dann wegbekommen?
ich hab so keine ahnung wie ich das machen soll :(
b = 25 - 2a
in die hb einsetzen:
V = a² * (25 - 2a)
V = 25a² * 2a³
V' = 50a - 6 a²
0 = 50 a - 6a²
a1 = 0, a2 = 8,33 -->a = 0 fällt weg
b = 25 - 2a
b = 8,33
und fertig
Danke danke dankeee! :) Du hast mir sehr geholfen :)