Extremwertprobleme im Sachzusammenhang?
Hallo, ich sitze hier schon endlos an einer Aufgabe komme aber kein Stück weiter...
Aufgabe: Der Punkt C(r|s) mit 0≤r≤3 liegt auf dem Graphen einer Funktion f, der Punkt N(3|0) ist fest gewählt. C und N sind Eckpunkte eines Rechtecks.
a) Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=1+1/5x³. Zeigen sie, dass für den Flächeninhalt A des Rechtecks gilt: A(r)= -1/5r⁴+3/5³-r+3.
Ermitteln sie den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks 0≤r≤3.
Mein Ansatz:
Hauptbedingung: A=a×b => A(r)=r×s
Ich habe dann versucht was mit f(x) zu machen um das in die Hauptbedingung zu bringen
also f(x) zu f(r), da bei C(r|s) x als r gegeben ist. =>f(r)=1+1/5r³
=> A(r)=r×s(1+1/5r³) => 1rs + 1/5sr⁴ => s=(r+1/5r⁴)...
Und da kam ich nicht mehr weiter, ich gehe davon aus das ich Überall einen Großen Fehler habe, da ich ja damit auch nicht Zeige, dass für den Flächeninhalt A des Rechtecks: A(r)= -1/5r⁴+3/5³-r+3 gilt. Aber ich komme auf keine andere Idee.
1 Antwort
Fläche in Abhängigkeit von r:
A(r) = (3 - r) * (1 + (1 / 5) * r³) = (-1 / 5) * r⁴ + (3 / 5) * r³ - r + 3
Maximale Fläche:
A'(r) = (-4 / 5) * r³ + (9 / 5) * r² - 1
0 = (-4 / 5) * r³ + (9 / 5) * r² - 1
r = (5 / 8) - (√(105) / 8) = -0,655...
Das Maximum liegt außerhalb des vorgegebenen Intervalls [0 ; 3]. Daher sind die Randbereiche des Intervalls zu untersuchen.
Für r = 0 ist A = 3