extremwertaufgabe roboterbewegung?
Ein Roboter A marschiert aus 25 m Entfernung mit einer Geschwindigkeit von 3m/min geradlinig auf eine Kreuzung zu. Gleichzeitig marschiert ein Roboter B auf einem dazu senkrechten Weg aus 30 m Entfernung mit einer Geschwindigkeit von 4m/min auf die selbe Kreuzung zu.
a) Zu welchem Zeitpunkt ist ihre Luftlinienentfernung am kleinsten?
b) Um wie viel Prozent müsste die Geschwindigkeit von Roboter A höher sein, damit die beiden Roboter an der Kreuzung zusammentreffen?
Bitte ich brauche sehr dringend die Lösung von Aufgabe a ! ich wäre euch wirklich dankbar, da ich diese aufgabe gar nicht verstehe ! :(
3 Antworten
Beim ersten ist die Entfernung von der Kreuzung
25-3t
beim anderen
30 - 4t
Das Quadrat der Entfernung voneinander ist
(25-3t)² + (30-4t)² = 625 - 150t + 9t² + 900 - 240t + 16t² =
1525 - 390t + 25t²
Ableitung:
50t-390 = 0
t = 390/50 = 7,8min
dankeschön! nun das problem ist, dass b nur 7,5 min läuft! da stelllt sich auch schon meine nächste frage: muss ich dazu den ansatz verändern oder b=30-4t ändern? oder kann man das trotzdem gelten lassen, wenn b negativ ist?
Der Abstand der ersten Roboters von der Kreuzung in Abhängigkeit der Zeit ist s - v * t also 25m -3m/min * t. Der des zweiten 30m - 4m/min * t. Diese beiden Abstände bilden ein rechtwinkliges Dreieck, da die Roboter ja senkrecht zuinander laufen. Die Hypothenuse dieses Dreiecks ist der Abstand der Roboter in Abhängigkeit der Zeit. Dieser berechnet sich nach Pythagoras. Also Wurzel ((30- 4 t)² + (25 - 3 t)²). Dieser muss minimiert werden. Also erste Ableitung bilden und Null setzen. Dazu löst du erst die Klammern unter der Wurzel auf und fasst alles zusammen. Dann wendest Du die Kettenregel an. Bedenke, dass Du Wurzel(a) auch als a^(0,5) schreiben kannst. Wenn du noch Fragen hast, melde Dich.
t=7,8 ist nun mal das Minimum. Wenn der eine Roboter 1,2 m über den Kreuzungspunkt hinaus ist, liegt der Abstand bei 2 m.
Wenn die Aufgabe endet, sobald einer der Roboter den Kreuzungspunkt erreicht hat, ist natürlich 7,5 die richtige Lösung. Es handelt sich dann um ein Randminimum.
Der Abstand beträgt zu diesem Zeitpunkt 2,5 m.
Herzliche Grüße,
Willy
dankeschön! :) also geht es auch, dass b negativ ist? bzw gibt es eine funktion für die man den abstand für t<7,5 min berechnen kann?
Stell dir vor, die Roboter laufen entlang der Koordinatenachsen eines Koordinatensystems. Der eine entlang der x-Achse, der andere entlang der y-Achse. Der Koordinatenursprung ist die Kreuzung.
Für jeden der beiden kannst du eine Gleichung aufstellen, wie weit er noch vom Koordinatenursprung entfernt ist.
Zum Zeitpunkt 0 ist der erste Roboter 25 m von der Kreuzung entfernt, jede Minute kommt er 3 m näher.
Nach t Minuten ist er also 25 - 3 * t m von der Kreuzung entfernt.
Wie weit ist der andere Roboter nach t Minuten noch von der Kreuzung entfernt?
Wie kannst du - in Abhängigkeit von t - den Abstand berechnen (Tipp: Pythagoras)
Hilft dir das weiter.
zu b: berechen, wie lange Roboter B bis zur Kreuzung braucht. Berechne nun, wie schnell Roboter A gehen müsste, um in der gleichen Zeit zur Kreuzung zu gelangen.
Diese Geschwindigkeit vergleichst du prozentuell mit der ursprünglichen Geschwindigkeit.
dankeschön! nun das problem ist, dass b nur 7,5 min läuft! da stelllt sich auch schon meine nächste frage: muss ich dazu den ansatz verändern oder b=30-4t ändern? oder kann man das trotzdem gelten lassen, wenn b negativ ist?
Ach, tut mir leid. Meine Frage ist sehr schlecht formuliert. Die frage ist noch an die Aufgabe a. Und zwar bei der Parabel bzw bei der Funktion bekomme ich als Minimalwert: 7,8 minuten raus, OBWOHL B nur 7,5 min läuft? kann man des dann trotzdem steheb lassen, auch wenn b negativ wird? oder muss ich ggf den ansatz ändern?
Es würde bedeuten, dass B über der Kreuzung ist! Die Aufgabe ist für t<7,5 Minuten definiert! Ich brauche also eine Funktion, mit der man den Abstand für t kleiner 7,5 Minuten ausrechnen kann. 😬 Außerdem heißt das, dass b=30-4t negativ wird geht das?😬
Richtig, der Roboter ist über die Kreuzung gelaufen, das heißt er entfernt sich von der Kreuzung wieder - das ist aber nicht schlimm. Das bedeutet einfach, dass der minimale Abstand dann erreicht ist, wenn B die Kreuzung schon überschritten hat. Der "negatlve" Abstand zur Kreuzung zeigt nur an, auf welcher Seite der Kreuzung sich der Roboter befindet. Da bei der "Abstandsmessung" via Pythagoras ohnehin quadriert wird, ist die Rechnung auch korrekt!
hallo vielen vielen dank! nun ich habe folgende frage: c2=25t2-390t+1525 (2 ist gleich hoch 2). ich habe jetzt von dieser quadratischen funktion den scheitel ausgerechnet und bekomme 7,8 raus. und das ist das eigentliche problem bei dieser aufgabe, da man den abstand zur zeit t<7,5 min ausrechnen muss!! muss ich jetzt den ansatz verändern oder etwas an der gleichung b=30-4t verändern?