Existiert die dritte Wurzel aus -8?

8 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Der Definition der Wurzel im Reellen liegt folgender Satz zugrunde: Zu jeder reellen Zahl c>=0 und jeder natürlichen Zahl n existiert genau ein reelles x>=0 mit  x^n = c

Dieses x heißt n-te Wurzel aus c.

Eine andere Definition wäre nicht sinnvoll, schon wegen der Eindeutigkeit der Funktion, z.B. ist die Wurzel aus 4 nicht +2 oder -2 sondern nur +2.

Eine Ausdehnung der Definition für solche Fälle wie dritte Wurzel aus -8 ist vor allem deshalb nicht sinnvoll, weil bei der Abänderung des Exponenten von (-8)^(1/3) nichts sinnvolles mehr herauskäme. Was soll das Ergebnis sein, wenn man 1/3 um einen sehr kleinen Betrag abändert. Deshalb existiert die dritte Wurzel aus -8 nicht. Die Definition der Wurzeln wird im Reellen ja auf einen beliebigen Exponenten ausgedehnt und man hat eine Stetigkeit hinsichtlich des Exponenten als Variable. Diese wäre bei einer negativen Basis verletzt.

Ganz anders sieht die Sache im Komplexen aus. Man verwendet hier dasselbe Wurzel-Symbol, aber das Ergebnis ist in reellen Fällen nur zum Teil mit der Definition aus dem Reellen identisch. Zum Beispiel ist hier die Wurzel aus 4 tatsächlich ± 2. Die Eindeutigkeit der Wurzelfunktion wird durch die Einführung der Riemannschen Flächen erreicht. Bei Quadratwurzeln hat man eine 2-blättrige Riemannsche Fläche, bei einer dritten Wurzel eine 3-blättrige Fläche. Ändert man den Exponenten z.B. auf eine irrationale Zahl ab, hat man eine unendlich blättrige Fläche. Im Komplexen kann man nicht eine der n Lösungen von z^n = c (wobei hier c eine komplexe Zahl ist) besonders auszeichnen. Die Fragestellungen sind hier anderer Natur.

Quintessenz: Du hast völlig recht, die Verwirrung kommt nur daher, weil man im Komplexen dasselbe Wurzelsymbol wie im Reellen verwendet.

Eine andere Definition wäre nicht sinnvoll

Bronstein; Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 20. Aufl. 1981, Kapitel 1.2.1.3. Irrationale algebraische Funktionen

Dort werden die Funktionen y=x^k für rationale k definiert. Abb. 1.20 zeigt u.a. den Graphen für k=1/3 auf ganz |R.

Ich finde diese Definition äußert sinnvoll und habe auch mit der Konvention ∛x = x^⅓ keine Probleme. Fazit:

∛(-8) = -2

Was soll das Ergebnis sein, wenn man 1/3 um einen sehr kleinen Betrag abändert

Ebenso könntest Du argumentieren, dass ln(x²+1) für x<0 nicht definiert ist, denn wenn man den Exponenten in 2+𝜀 abändert...

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@ralphdieter

Meine Ausgabe des Bronstein ist von 1996 und da steht in Kapitel 0.1.9:

"n-te Wurzeln: Gegeben sei eine positive reelle Zahl a. Dann ist x=a^(1/n) die eindeutige Lösung der Gleichung 
x^n = a mit x>=0 "


In Kapitel 1.1.2.4 steht dann die Definition im Komplexen. Es sind dies die n Lösungen der „Kreisteilungsgleichung“ z^n = a . Sie werden dort explizit in trigonometrischer Darstellung aufgeführt.
Angewendet auf 3-te Wurzel aus -8:
Nach der 1. Definition ist dies nicht definiert, nach der 2. Definition sind dies gleichberechtigt die 3 Werte
2 * [cos((2πk - ϕ)/3)+ i sin((2πk + ϕ)/3)]   für k=0,1,2
wobei ϕ das Argument von -8 ist, also π. Damit ergeben sich für k=0,1,2 die 3 Werte
1-√3i,    1+√3i,    -2
Soweit Bronstein.



Nun zur Sinnhaftigkeit einer möglichen Ausdehnung der Definition im Reellen gemäß:
Ist a eine negative reelle Zahl und n eine ungerade natürliche Zahl, so ist a^(1/n) definiert als - |a|^(1/n)
Formal hast du mit dem Beispiel ln(x²+1) recht. Meine Darstellung war etwas verkürzt. Hier kommt es aber darauf an, ob Gesetzmäßigkeiten auch dann noch gelten, wenn man eine – formal willkürliche – Definition ausweitet. Der Satz:
„Ist x_k eine reelle Zahlenfolge mit dem Grenzwert x so gilt:
lim  a^(x_k) = a^x “
gilt dann nicht mehr. In meiner Antwort habe ich etwas anders formuliert. Diese Formulierung stammt aus Bronstein, Kapitel 0.1.9 gleich nach der Definition der n-ten Wurzel.
Mit dieser Ausweitung der Definition ∛(-8) = -2 würden also die Sätze aus der Formelsammlung nicht mehr gelten und ist somit eine theoretisch wie praktisch schädliche Definition.
Außerdem gelten dann nicht mal mehr Standard-Rechenregeln. Man formt ja         x^(1/n) = a        gern um in
1/n * log(x) = log(a)
Man hat dann Logarithmen von negativen Zahlen. Sagt man jetzt, na ja, nehmen wir halt den Hauptwert gemäß der Funktionentheorie, dann kommt man vom Regen in die Traufe, weil die Ergebnisse falsch werden. Je länger ich es mir überlege, umso unsinniger erscheint mir die Definition von ∛(-8) = -2.

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@Rowal

Ergänzung: Was mir bei der Durchsicht noch aufgefallen ist: Den Kommentar von Messerset zur Antwort von YStoll kann man auch so formulieren: Wenn man   ∛(-8) = -2 definiert, gelten die üblichen Potenzgesetze nicht mehr. Da beißt die Maus keinen Faden ab.

Dies entspricht der Beobachtung, dass die Logarithmengesetze im Komplexen nicht gelten, wie ich am Schluss meines Kommentars andeutete.

0

Ich als Mathematikstudent kann dir mit guter Sicherheit sagen, dass Wurzeln, gerade wie ungerade aus allen reellen Zahlen definiert sind.

Nur ist das Ergebnis nicht immer eine reelle Zahl.

Es gibt für die n-te Wurzel einer Zahl immer n verschiedene Lösungen (Ausnahme: die Ausgangszahl ist Null).

Eine Lösung für die dritte Wurzel aus  -8 ist -2 denn (-2)³ = -8.

Die beiden anderen lauten 2 * e^(2/3 * pi * i) bzw. 2 * e^(4/3 * pi * i)
Wobei i die imaginäre Einheit ist.

Ach, ist das schön. Soviel Unwissen auf einem Haufen. Wenn du wirklich Mathematik studierst, dann nimm doch bitte mal deinen Heuser Lehrbuch für Analysis Teil I und schlag ihn auf, S.78. Dort findest du unter 2. die Begründung.

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@Messerset

Du hast vergessen im Voraus zu erwähnen, dass du nur die reelle Wurzelfunktion betrachtest und nicht die allgemeine, die auch für komplexe Zahlen definiert ist.

Ob ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen im rellen existieren ist dann Definitionssache.

Sei die n-te Wurzel definiert mit
a^(1/n) := sqrt_n (a):={x|x € |R und x^n=a} dann ist -2 nach wie vor eine Lösung von (-8)^(1/3).

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@YStoll

Du hast es immer noch nicht richtig verstanden, was ja nicht schlimm ist.

(-8)^(1/3) kann überhaupt keine Lösung haben, weil es sich hier lediglich um eine Zahl handelt und nicht um eine Gleichung.

Gleichungen können mehrere Lösungen haben, genau eine oder auch gar keine. Eine Zahl ist entweder definiert oder eben nicht.

Selbstverständlich hat die Gleichung x^3=-8 eine reelle Lösung. Nämlich -2. Darum geht es hier aber gar nicht. Es geht darum, ob der Ausdruck (-8)^(1/3) überhaupt definiert ist. Und das ist er eben nicht.

Beweis: Angenommen es sei

(-8)^(1/3)=-2, dann ist auch

(-8)^(2/6)=-2, dann ist aber nach den Potenzgesetzen

((-8)^2)^(1/6) = -2, und das heißt

64^(1/6)=-2, und (du siehst schon, wie der Hase läuft?

2=-2, und das ist ganz offensichtlich ein Widerspruch zu Annahme.

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@Messerset

das ist ganz offensichtlich ein Widerspruch zu Annahme.

Ja, aber zu welcher?

Du siehst vielleicht, dass bei deiner Argumentation eben nicht die ungerade Wurzel oder Potenz das Problem macht - sondern die Quadratwurzel bzw. das Quadrat. Einer negativen Zahl (hier -1).


Wenn man will, dass die (Quadrat-)Wurzel immer höchstens eine Zahl ist (und nicht etwa eine Menge), dann muss man nicht die negativen Basen verbieten, sondern die negativen Elemente der Lösungsmenge der Potenzgleichung. Die negativen Basen muss man verbieten, um immer mindestens eine (reelle) Zahl als Lösung zu bekommen.

Die dritte Wurzel (oder Potenz) ist hier ganz und gar unschuldig. Die kann man ruhig zulassen...

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@Messerset

(-8)^(1/3) kann überhaupt keine Lösung haben

Selbstverständlich hat die Gleichung x^3=-8 eine reelle Lösung.

Bist du dir sicher, dass du weißt wovon du sprichst?

Der Ausdruck (-8)^(1/3) kann nicht eindeutig gelöst werden.
Wie ich auch schon in meiner Ursprünglichen Antwort geschrieben habe.

64^(1/6) hat ganz einfach 6 Lösungen in den komplexen Zahlen bzw. 2 in den reellen.

Dass jedoch 2 Dinge Lösung zu einem Problem sind, heißt noch lange nicht, dass sie gleich sind.

Und dass eine Fragestellung nicht eindeutig lösbar ist heißt offensichtlich noch lange nicht, dass keine Lösung existiert.

Wenn du die (Quadrat-)Wurzel als Funktion von |R nach |R betrachten willst muss diese natürlich eindeutig sein. Dann werden per Definition einfach alle negativen (und nicht reellen )Ergebnisse "verboten" bzw. ignoriert.
Eine Folge daraus ist offensichtlich dass es keine Wurzeln aus negativen Zahlen geben darf.
Die Quadratwurzel ist als Funktion also nur von |R+ nach |R+ sinnvoll definierbar (alternativ nach |R-, indem man eben nur die negativen Ergebnisse betrachtet.)
(Zu |R+ bzw. - muss jeweils noch die Null
hinzugenommen werden, aus Gründen der Übersichtlichkeit/da GF kein LaTex unterstützt schreibe ich das hier in Worten)

Will man nun die Kubikwurzel als Funktion definieren, die x auf y abbilde, so muss man einen geeigneten Definitionsbereich überlegen. So kann man hier alle komplexen Lösungen der Gleichung y³ = x ignorieren und man hat eine eindeutige Funktion von |R auf |R

Oder man ignoriert alle negativen (und nicht reellen )Ergebnisse wie man es zuvor gemacht hat.

Ansonsten habe ich mittlerweile die gleiche Meinung wie Schachpapa.
Du bist ein Troll.
Du steckst nur überraschend viel Aufwand in dein Unterfangen und hast eine recht kleine Zielgruppe. Es gibt effizientere Wege.
Du willst dich selbst profilieren indem du dich über das vermeindliche
Unwissen Anderer lustig machst, was jedoch nur aus einer unkonkret gestellten Frage resultiert.

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OK, ich möchte selber lösen, weil es ja keiner richtig versteht. Ich löse auch gar nicht selbst sondern zitiere aus deinem Standard-Lehrbuch für Analysis von Prof. Dr. rer. nat. Harro Heuser.

"1. Die pte Wurzel aus a ist nur für a größer oder gleich 0 definiert, und es ist immer pte Wurzel aus a größer oder gleich 0; insbesondere ist die Quadratwurzel aus a größer oder gleich 0.

...

2.Die Aufgabe, die pte Wurzel aus a zu berechnen, ist scharf zu unterscheiden, von dem Problem, sämtliche reellen Lösungen der Gleichung x hoch p = a zu finden. Ist a größer 0, so liefet die pte Wurzel aus a eine, und zwar eine positive Lösung dieser Gleichung. Ist p gerade, p = 2k, so haben wir in - pte Wurzel aus a eine zweite (diesmal negative) Lösung, weil (- pte Wurzel aus a) hoch p = (-1) hoch 2k (pte Wurzel aus a) hoch p = 0 ist. Z.B. sind x1:= Wurzel aus 4 = 2 und x2:= - Wurzel aus 4 = -2 zwei reelle Lösungen der quadratischen Gleichung x hoch 2 = 4. Diese Lösungen gibt man gerne mit der Kurzschreibweise x1,2 = +- Wurzel aus 4 an, was aber häufig zu dem Mißverständnis führt, die Quadratwurzel habe zweierlei Vorzeichen, und es sei eben Wurzel 4 = +-2"

Man möge mir den fehlenden Formelsatz verzeihen.

Lieber Messerset,

deine Argumentation ist nachvollziehbar und ist offenbar fehlerfrei aus einem Lehrbuch abgeschrieben. Herzlichen Glückwunsch!

Dass es auch andere Positionen gibt, wird z.B.in diesem Buch http://www.ziebarth-net.de/1836\_probe.pdf (S.216f) ausgeführt. Der Autor ist ebenfalls Professor.

Ansonsten tust du mir eher leid, wenn du mit einer fertigen Lösung in ein Amateurforum gehst und dort meinst den Oberguru heraushängen lassen zu müssen.

Formulierungen wie "damit ihr nicht doof sterbt", "soviel Unwissenheit auf einen Haufen" usw. kann man sich wirklich schenken.

Mir drängt sich der Verdacht auf, dass dies das Einzige ist, was du sicher zu wissen glaubst und nun gehst du damit hausieren.

2
@Schachpapa

Lieber Schachpapa,

ich habe deine Quelle überflogen, und auch einen Hinweis darauf gefunden, dass eine andere Definition für ungerade Wurzeln möglich sei, aber auch, dass diese Kontroverse nicht weiter verfolgt würde, und man sich auf die einheitliche Definition beschränke.

Wenn es noch einen weiteren Hinweis in deiner Quelle gibt, die unter anderem auch mit dem von mir gezeigten Beweis verträglich ist, dann bitte ich um eine genauere Quellenangabe.

Der Beweis ist übrigens von mir und findet sich nicht in dem Lehrbuch, das übrigens nicht das einzige in meinem Regal ist.

Abgesehen davon, war meine Intention, herauszufinden, wie weit der Unsinn immer noch verbreitet ist. Das hatte ich auch offen ausgesprochen.

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@Schachpapa

Diesen Kommentar halte ich für vollkommen unangebracht. Die Antwort von Messerset hatte ich bei der Beantwortung noch nicht gesehen, weil sie noch nicht da war, als ich zu Antwort ansetzte, dann aber unterbrochen worden bin. Meine Antwort ist ganz ähnlich und ich habe nicht aus einem Lehrbuch abgeschrieben, habe aber den Hintergrund noch stärker beleuchtet. Und hieraus fließt die Definition in ganz natürlicher Weise. Das Problem ist, dass das Wurzelsymbol eben im Komplexen eine abgewandelte Bedeutung hat und es deswegen häufig zu Unklarheiten kommt. Diese wollte der Fragestellen ausräumen. Im übrigen habe ich deswegen geantwortet, weil ich derselben Meinung bin wie der Fragesteller, dass nämlich keiner der Antwortenden das richtig verstanden hat.

Der Kommentar sollte eigentlich beanstandet werden.

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@Rowal

Jetzt ist schon wieder eine Überschneidung. Den Kommentar von Messerset hatte ich noch nicht gesehen.

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@Rowal

Ich habe die Argumentation nicht in Frage gestellt.

Die herablassende Art und Weise ("Im Gegensatz zu mir seid ihr seid sowieso alle doof und ich frage euch mal nach eurer voraussichtlich falschen Meinung, damit ich euch sagen kann, wie es richtig ist") finde ich ärgerlich und überflüssig.

Wenn der Herr "Gymnasiallehrer für Mathematik und Sport" mit seinen weniger begabten Schülern genauso umgeht, werden die ihm sicher mit Begeisterung folgen.

3
@Rowal

Der Kommentar sollte eigentlich beanstandet werden.

Gegen welche Richtlinien verstößt er denn bitte?
Das ist nun wirklich albern.

2

Heusers Analysis I-III ist zweifellos ein Standardwerk, aber es richtet sich gezielt an Anfänger.

1. Die pte Wurzel aus a ist nur für a größer oder gleich 0 definiert

Das bezieht sich wohl auf eine vorausgehende Definition der p-ten Wurzel für beliebige positive reelle p. a<0 wird hier explizit ignoriert, weil das nur für ganz spezielle p sinnvoll ist (z.B. p=3).

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