Ein gefälschter 1 kg-Goldbarren besteht aus einem Kern aus Blei und einem Mantel aus Gold. Der Barren hat ein Volumen von 79,4 cm . Wie gross ist die Goldmasse?

Was ist hier der Lösungsweg, wenn die Lösung 0.242kg sein sollte.
Ich bin euch dankbar!!

Answer 1

[ant8eart]

Man koennte das Gewicht berechnen, das der Barren haette, falls er komplett aus Gold bestuende. Dieses Gewicht wird groesser sein, da Blei leichter als Gold ist.

Aus der Differenz ergibt sich das gesuchte Volumen des Bleis. Daraus folgt dann das Volumen des Goldes (im vorliegenden Barren) und damit die Masse des Goldes.

Answer 2

[Schachpapa]

b + g = 1000

b/B + g/G = 79,4

Dabei stehen b und g für das gesuchte Gewicht und B und G für das spez. Gewicht von Blei bzw Gold in g/cm³

B und G nachschlagen, einsetzen und das Gleichungssystem lösen. Einsetzungsverfahren mit b = 1000 - g bietet sich an.

Comments

[Schachpapa]

WolframAlpha bestätigt das Ergebnis

Answer 3

[mihisu]

[Gemeint ist wahrscheinlich 79,4 cm³ statt 79,4 cm. Sonst passt die Einheit nicht zum Volumen.]

Erst einmal ein paar Bezeichnungen klären...

$m_\text{Au}:\text{ Masse des Goldes im Barren (gesucht)}$

$m_\text{Pb}:\text{ Masse des Bleies im Barren}$

$V_\text{Au}:\text{ Volumen des Goldes im Barren}$

$V_\text{Pb}:\text{ Volumen des Bleies im Barren}$

$\rho_\text{Au}=19\text{,}32\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\quad \left(\text{Dichte von Gold}\right)$

$\rho_\text{Pb}=11\text{,}342\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\quad \left(\text{Dichte von Blei}\right)$

$m=1\,\text{kg}\quad \left(\text{Gesamtmasse des Barren}\right)$

$V=79\text{,}4\,\text{cm}^3\quad \left(\text{Gesamtvolumen des Barren}\right)$

==============

Nun kann man die folgenden Gleichungen aufstellen...

$\overbrace{\rho_\text{Au}\cdot V_\text{Au}}^{m_\text{Au}}+\overbrace{\rho_\text{Pb}\cdot V_\text{Pb}}^{m_\text{Pb}}=m$

$V_\text{Au}+V_\text{Pb}=V$

Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten V[Au] und V[Pb] welches gelöst werden kann. Im konkreten Fall ist vor allem V[Au] von Interesse. Man kann nun beispielsweise die zweite Gleichung nach V[Pb] auflösen und in die erste Gleichung einsetzen, um V[Pb] zu eliminieren und eine Gleichung zu erhalten, die nur noch V[Au] als unbekannte Größe enthält, nach der man dann weiter auflösen kann.

$V_\text{Au}+V_\text{Pb}=V\quad \rightarrow\quad V_\text{Pb}=V-V_\text{Au}$

$\rho_\text{Au}\cdot V_\text{Au}+\rho_\text{Pb}\cdot\overbrace{\left(V-V_\text{Au}\right)}^{V_\text{Pb}}=m$

$\rightarrow\quad \rho_\text{Au}\cdot V_\text{Au}+\rho_\text{Pb}\cdot V-\rho_\text{Pb}\cdot V_\text{Au}=m$

$\rightarrow\quad \rho_\text{Au}\cdot V_\text{Au}-\rho_\text{Pb}\cdot V_\text{Au}=m-\rho_\text{Pb}\cdot V$

$\rightarrow\quad \left(\rho_\text{Au}-\rho_\text{Pb}\right)\cdot V_\text{Au}=m-\rho_\text{Pb}\cdot V$

$\rightarrow\quad V_\text{Au}=\frac{m-\rho_\text{Pb}\cdot V}{\rho_\text{Au}-\rho_\text{Pb}}$

Mit dem Volumen und der Dichte kann man dann die gesuchte Masse berechnen...

$m_\text{Au}=\rho_\text{Au}\cdot V_\text{Au}=\rho_\text{Au}\cdot \frac{m-\rho_\text{Pb}\cdot V}{\rho_\text{Au}-\rho_\text{Pb}}$

$m_\text{Au}=19\text{,}32\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot \frac{\overbrace{1000\,\text{g}}^{1\,\text{kg}}-11\text{,}342\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\cdot 79\text{,}4\,\text{cm}^3}{19\text{,}32\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}-11\text{,}342\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}}\approx 241\,\text{g}=0\text{,}241\,\text{kg}$

Comments

[lesterb42]

Da kennt sich einer aus. Respekt!

Answer 4

[Spikeman197]

hmm, 79,4 cm³ Blei hätten eine Masse von 79,4 cm³×11,34 g/cm³=900,6 g. Es fehlen also 99,4 g.

Die Dichte von Gold ist mit 19,32 g/cm³ um 8 g/cm³ höher, also müssen 99,4 g/8 g/cm³=12,5 cm³ Blei durch Gold ersetzt werden.

12,5 cm³ Gold ×19,3 g/cm³=241 g Gold!

Answer 5

[LoverOfPi]

Ich hätte es so gelöst:

m(Gold)+m(Blei)=1000kg

V(Gold)+V(Blei)=79.4cm³

V=m/ρ

79.4cm³=m(Gold)/ρ(Gold)+m(Blei)/ρ(Blei) und letzte Werte sind Konstanten. Damit kannst du weiterrechnen. Denn nun hast du ein LGS mit 2 Unbekannten.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Physik im Nebenfach