Den Verlauf einer Parabel ohne Zeichnung bestimmen?

... komplette Frage anzeigen

4 Antworten

Also, die quadratische Funktion lautet wie folgt:

f(x)= 7(x+4)²+2

Das steht so in der Scheitelpunktform. Diese geht allgemein so (Buchstaben können immer variieren):

f(x) = a (x - d)² + e

Jeder einzene Buchstabe hat natürlich eine gewisse Bedeutung, die du oft schon ablesen kannst. Bei der Scheitelpunktform ist das der beste Fall.

Der Faktor a ist der Stauch- und Streckfaktor. Daran kannst du also ablesen, wie weit die Parabel entlang der y-Achse gestaucht oder gestreckt ist.

_____________________________________________________

Wenn der Graph der Funktion f also "breiter" als die Normalparabel ist, sagt man in der Mathematik:

Der Graph der Funktion f ist entlang der y-Achse (um den Faktor a) gestaucht.

Dies ist der Fall, wenn der Faktor a zwischen 0 und 1 liegt. Mathematisch schreibt man es so:

 Gestaucht ("breiter"): 0 < a < 1

_____________________________________________________

Wenn der Graph der Funktion f also "schmaler" als die Normalparabel ist, sagt man in der Mathematik:

Der Graph der Funktion f ist entlang der y-Achse (um den Faktor a) gestreckt.


Dies ist der Fall, wenn der Faktor a größer ist als 1.

Gestreckt ("schmaler"): a > 1

_____________________________________________________

In beiden genannten Fällen ist die Parabel nach oben geöffnet. Handelt es sich um negative Zahlen, so ist die Parabel nach unten geöffnet. Die Bedingungen und die Stauchung und Streckung bleiben aber vorhanden.

Weitere Fälle kannst du hier nachschauen, sind für diese Aufgabe aber auch nicht wichtig:

http://www.mathebibel.de/parabel-strecken-stauchen

In deinem Fall ist der Faktor a = 7. Damit ist 7 > 1 und somit ist die Funktion f entlang der y-Achse gestreckt, also schmaler als die Normalparabel.

_____________________________________________________

Weiter geht es. Wie schon gesagt steht die Funktion hier ind er Scheitelpunktform. Wie der Name schon sagt, kannst du damit dann den Scheitelpunkt ablesen. Das ist also der "Wendepunkt", wo die Steigung also das Vorzeichen ändert. In diesem Fall ist es also der tiefste Punkt des Graphen, den man auch als Tiefpunkt bezeichnet. Dort ist die Steigung m = 0.

Den Scheitelpunkt kannst du so ablesen:

Scheitelpunkt S (-d | e ). WICHTIG!! Du musst das Vorzeichen von d umkehren. Ich habe deshalb jetzt "-d" geschrieben.

In deinem Fall ist der Scheitelpunkt also bei S(-4 | 2)! Wie gesagt: Denke dran, das Vorzeichen beim d zu wechseln!

Wenn du z.B. eine Funktion g(x) = 2(x-3)+4 hast, dann wäre der Scheitelpunkt bei S(3|4).

Der Buchstabe d verschiebt also die Parabel entlang der x-Achse. Das ganze passiert wie gesagt mit dem umgekehrten Vorzeichen!

Weiter zum Buchstaben e. Dieser gibt die Verschiebung entlang der y-Achse an. In diesem Fall ist das die 2 und somit ist die Parabel um 2 nach oben verschoben.

_____________________________________________________


Fassen wir zusammen:

a = 7

►► Parabel um den Faktor 7 gestreckt!

__________________________________

d = 4

►► Parabel um 4 nach links verschoben (Vorzeichenwechsel beachten)!

e = 2
__________________________________

►► Parabel um 2 nach oben verschoben!

►►► Scheitelpunkt bei S(-4 | 2)!

Mit diesen Informationen kannst du die Funktion nun skizzieren. Du kannst genauso Werte einsetzten, um neben dem Scheitelpunkt noch weitere Punkte zu haben, damit du andere Punkte, die auf dem Graphen der Funktion f liegen, einzuzeichnen. Stichwort Wertetabelle.

Tipp:
Die Funktion hat keine Nullstelle(n). Das sollte klar sein, da die Funktion f um 2 nach oben verschoben ist.

Die Funktion kannst du dir noch einmal im Bild anschauen, um alles nachvollziehen zu können! :)

_____________________________________________________

Wenn du nun noch Fragen hast, lass sie mir zukommen! ;)

Liebe Grüße

TechnikSpezi


Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von SuperDivinus
27.10.2016, 21:15

Man, da hast du dir richtig Mühe gegeben, aber leider vergebens. Meine Französisch-Lehrerin wollte uns damals ihre Sprache auf französisch beibringen, es hat nicht geklappt. Mathe kann man auch nicht in der abstrakten Sprache der Mathematik beibringen. Deine Erklärweise hebt sich nicht von der eines schwachen Lehrers ab. Um erfolgreich Wissen zu vermitteln vermag es nicht nur die Wirkung der Parameter zu erklären und da hilft auch nicht die ünnötig komplzierte Scheitelpunktformel, vielmehr müsse man dem Schüler die Werkzeuge in die Hände legen, danit dieser auch weiß welche Ursachen dafür verantwortlich sind.

0

Du hast die Parabelgleichung bereits in Normalform angegeben. Der Faktor vor der Klammer gibt an, wie steil oder flach die Parabel ist, hier ist sie 7mal steiler als eine Normalparabel. Das Vorzeichen des Faktors besagt, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist (positiv=nach oben geöffnet). +2 am Ende sagt Dir, dass die Parabel um zwei Punkte nach oben verschoben ist. In der Klammer wird die Verschiebung nach links oder rechts sichtbar, +4 bedeutet, dass die Parabel nach links verschoben ist. Bei P(-4/2) befindet sich der Scheitelpunkt.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

f(x)=7(x+4)^2+2

Die 7 ist positiv - also nach oben geöffnet,

die 7 entspricht dem Streckungsfaktor a - es handelt sich also um eine gestreckte Parabel

sie hat den Scheitelpunkt bei (-4|2)

wenn Du die Gleichung 0 setzt, lassen sich die Nullstellen bestimmen:

Deine Rechnung würde ergeben, dass diese Parabel keine Nullstellen hat

wenn Du jetzt noch in die Normalform auflöst:

f(x)=7(x+4)^2+2

f(x) = 7(x² + 8x + 16) + 2 =

f(x) = 7x² + 56x + 114

kann man noch ablesen, dass die Parabel die y-Achse bei 114 schneidet.

Mehr fällt mir nicht ein

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Wertetabelle machen ! Nullstellen bestimmen ! Maximum, Minimum, Sattelpunkt etc. berechnen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von FelixFoxx
27.10.2016, 14:03

Das macht man erst in der Oberstufe so, in der (ich glaube) 7. Klasse hat man noch die Normalform, an der man einiges ablesen kann.

0

Was möchtest Du wissen?