Parabelgleichung aufstellen: 2 Punkte + Symmetrieachse
Hallo, ich soll den Funktionsterm einer Parabel bestimmen und habe folgendes gegeben: A(-4,5/1) , B(-2,5/-2,5) und die Parabel geht durch die Symmetrieachse x=-3. Mein Ansatz war wie immer: f(x)=ax²+bx+c
Danke für eure Hilfe!
3 Antworten
Es gibt eine Parabel zweiter Ordnung, die die Voraussetzungen erfüllt, und sie ist auch ohne Ableitung zu berechnen.
Du tust dir sehr viel leichter mit der Scheitelpunktform der Parabelgleichung:
y = a(x -d)² +e,
wobei (d | e) die Koordinaten des Scheitelpunkts S sind. Da S immer auf der Symmetrieachse liegt, ist die x-Koordinate d des Scheitelpunkts d = -3.
Du brauchst also nur die beiden Punkte in
y = a(x -(-3))² +e = a(x+3)² +e
einzusetzen und erhältst eine einfach zu lösendes System von zwei Gleichungen mit den beiden Variablen a und e.
Die Lösung ist
y = 7/4 * (x +3)² - 47/16
Berechnung mit Ableitung:
Die Ableitung ist (notwendig) zum Punkt (-3 | 0) punktsymmetrisch lineare Funktion und hat daher die Form
y / p + x / (-3) = 1;
y = p x / 3 + p;
Also ist die gesuchte Funktion Element des unbestimmten Integrals:
y = ∫ ( p x /3 + p) dx =
p x² / 6 + p x + C;
Punkte einsetzen, Auflösung des Systems und Kürzen ergibt:
y = 7x²/4 + 21x/2 + 205/16;
das ist die ausmultiplizierte Form der bereits gefundenen Lösung.
Einfacher finde ich das aber nicht gerade.
Spiegelung an einer Achse heißt nicht Ableitung.
Das sieht doch sehr nach einer Parabel 4. Grades aus. Der Punkt auf der Spiegelachse ist kein Scheitelpunkt, sondern ein Extremwert. Und so haben wir (pardon, Tiggels) die Ableitung doch wieder drin. Du musst die allgemeine Gleichung 4. Grades ableiten und gleich Null setzen. Dann hast du die notwendigen 5. Gleichung. Da ist dann zwar auch ein e, aber nicht das, was du gehofft hast, Frageremil1.
Gleichung 4. Grades: f(x) = ax^4 +bx³ +cx² + dx + e
Erste Ableitung: f ' (x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
Vorbehaltlich Tippfehler. Mitdenken ist angesagt!
ja dann setze deine bedingungen in die formel ein, du kennst 2 punkte und dass f ' (-3)=0. reicht doch für 3 unbekannte.
Aber wenn ich den Scheitelpunkt bei S(-3/e) habe, sollen wir e bestimmen. Wie geht das denn?
Da entstehen zwei weitere Punkte (-1,5|1) und (-3,5|-2,5), die x-Werte jeweils so, dass die Achse in der Mitte liegt.