Definitionsmengen von Winkelfunktionen?

3 Antworten

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ist die Menge der reellen Zahlen und wird in meistens als Grundmenge angenommen.

Aus der Identität

                 sin(x)
tan(x) = ———
                cos(x)

folgt, dass der Tangens an den Stellen undefiniert ist, an denen der Kosinus eine Nullstelle hat (ansonsten würde der Nenner null werden und damit durch null geteilt werden).

Die Nullstellen des Kosinus liegen bei x = πn + π/2 = (n + 1/2)π mit ganzzahligem n und genau diese Stellen sind die Definitionslücken des Tangens.

Also gilt: ID = ℝ \ {(n + 1/2)π | n ganzzahlig}
Sprich:
Alle reellen Zahlen ohne jene, die durch (n + 1/2)π mit ganzzahligem n darstellbar sind.

Klingt kompliziert, ist aber eigentlich ganz einfach:
Egal welche ganze Zahl du in (n + 1/2)π einsetzt - das Ergebnis ist eine Definitionslücke des Tangens (und damit auch eine Nullstelle des Kosinus). Und für alle anderen Zahlen ist der Tangens definiert.

Die Definitionslücken des Sinus und des Kosinus sind denkbar simpel, nämlich einfach ganz . In sin(x) und cos(x) kannst du einsetzen, was du willst, es kommt nie zu einer mathematischen Undefiniertheit. Das ist auch am Graphen ersichtlich, die Sinus- und Kosinusgraphen verlaufen ohne irgendeine Lücke immer weiter.

LG Willibergi

> Die Definitionslücken des Sinus

Sind wohl die Definitionsbereiche gemeint.

1

Zeichne dir doch den Graph der Tangensfunktion mal auf ! Im Intervall 0≤x<(π/2) wächst die Funktion von  tan(0)=0  stetig und schließlich rasend schnell an, mit dem (uneigentlichen) Grenzwert +∞  für x -> π/2. Wegen tan(-x) = - tan(x) ergibt sich daraus der bezüglich O(0|0) punktsymmetrische Verlauf. An der Stelle -π/2 ergibt sich deshalb wieder ein Pol. Ferner ist die Funktion periodisch mit der Periodenlänge π , d.h. der Funktionsverlauf im Intervall  (-π/2 ... +π/2)  wiederholt sich außerhalb dieses Grundintervalls jeweils immer wieder in kongruenter Weise. An allen Stellen  x_n = n*π  liegen Nullstellen, bei denen der Graph die x-Achse von unten nach oben überquert, und in der Mitte zweier solcher benachbarten Nullstellen liegt stets ein Pol mit Vorzeichenwechsel von +∞  zu  -∞ .  Diese Polstellen sind natürlich Definitionslücken und liegen eben genau an den benannten Stellen

p_n = (n + 1/2)π    | n   ganzzahlig  

Hi,

zur Unterstützung der Antworten noch ein Plot der Tangensfunktion.

Gruß

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