Weshalb braucht es nur drei Tasten für alle sechs Winkelfunktionen?

3 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Könnte man.
Die alten 3 weiteren Winkelfunktionen wurden abgeschafft, weil sie einfach die Kehrwerte der vorhandenen waren (Kosekans, Sekans, Kotangens).

Tatsächlich käme man sogar mit einer einzigen aus, denn
sin² = 1 - cos²     und     sin/cos = tan.
Dann wären die Berechnungen damit aber etwas unübersichtlich. Daher hat man es so gelassen (was nicht bedeutet, dass man nicht über diese Beziehungen Bescheid wissen sollte).

Man muss dabei beachten, dass sin⁻¹ auf dem Rechner nicht bedeutet
1/sin        wie sonst immer. Da ist mal irgendwo was ordentlich versaubeutelt worden, und fast alle Hersteller haben es übernommen.
sin⁻¹   steht für   arc sin (Arkus Sinus), die Umkehrfunktion des Sinus,
also zur Ermittlung des Winkels aus der Winkelfunktion.

Wie kommt man auf sin^2 = 1-cos^2 und sin/cos = Tan?

0
@xyzsalome

Das ist aus den Definitionen entwickelbar. Man muss auch den Pythagoras kennen.

sin α  = a/c
cos α = b / c

Man schreibt sin² α  für (sin α)²
Das ist übersichtlicher und schneller und ohne Klammern.

sin² α + cos² α  =  (a/c)² + (b/c)²              |  Klammern auflösen
                         =  a² / c²  +  b² / c²          |  auf einen Bruch schreiben
                         = (a² + b²) / c²                 | Pythagoas: a² + b² = c²
                         =  c² / c²
                         = 1

Ergebnis:        sin² α + cos² α = 1

Wenn ich sin² α isoliere, habe ich
                      sin² α                = 1 - cos² α

Nun der Tangens:

sin α  = a / c
cos α = b / c

(sin α) / (cos α)  =    (a / c)  / (b / c)     | Kehrwert!
                          =    a c / b c               |  c kürzen
                          =   a / b

Das ist aber genau die Definition     tan α = a / b

Daher          sin α / cos α  =  tan α         

1

Welche genau sind die, die dir noch fehlen ?

Die Umkehrfunktionen arcsin, arccos und arctan sind bestimmt als Zweitfunktionen derselben 3 Tasten erreichbar.

Ferner ist etwa  sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x), cot(x)=1/tan(x)

Weil diese letzten 3 Funktionen einfach Kehrwerte von sin, cos und tan sind, kann man auf sie als speziell benannte Funktionen eigentlich auch ganz gut verzichten.

Zu deiner letzten Frage:  Eigentlich würde eine einzige Funktion, z.B. die Sinusfunktion, genügen, da cos(x) und tan(x) mittels sin(x) (und gewissen Fallunterscheidungen) darstellbar sind. Einen Rechner, der anstatt sin, cos und tan nur noch sin anbietet, würde ich aber wohl doch nicht weiter empfehlen ...

Für die Ausbildung mathematischen Denkens wäre solch ein Rechner aber hervorragend geeignet.

Gruß, Willy

3
@Willy1729

Vielleicht könnten wir einen Rechner-Hersteller dafür gewinnen, auf einem Modell eine Zusatzfunktion einzurichten, um einige Tasten (wenigstens vorübergehend) zu inaktivieren.

Auf meinem Voyage200 könnte man z.B. die Tasten für die Subtraktion, die Division sowie SIN und COS außer Kraft setzen. Mittels  (-) , 1/x , TAN  (und TAN^(-1))  könnte man trotzdem auskommen. 

2

Trigonometrie , Beziehung zwischen Steigungswinkel a und Steigung m?

In welcher Beziehung stehen Steigungswinkel alpha und die Steigung m zueinander?

...zur Frage

Wie kann man die Länge von Ankathete und Gegenkathete berechnen, wenn man nur die Länge der Hypotenuse und einen Winkel gegeben hat?

Ich schätze mal, dass man das mit dem Tangens machen muss, aber ich weiß nicht, wie genau.

Und bevor jetzt einer sagt, dass ich meine Hausaufgaben selber machen soll: Das ist nicht für die Schule.

...zur Frage

Wie komme ich auf a, hs, G, V in einer quadratischen Pyramide?

In einer quadratischen Pyramide sind folgende Werte bekannt: s= 92,2 h= 62,5
Berechne nun Seitenlänge a, die höhe einer Pyramidenseite (hs), die Grundfläche (G = a^2), und das Volumen. Wie komme ich auf einen dieser Werte?

...zur Frage

Mathematik Sin,Tan,Cos TR TI-30XA

Hall wir machen gerade die Winkelfunktionen Sin,Tan,Cos in der Schule. War krank und hab jetzt von einem Freund alles nach geschrieben. Haben Hü bekommen bis Dienstag und weis jetzt nicht wie ich mit dem Taschenrechner das ausrechne: cos Alpha = A/H --> A= HcosAlpha = A= 30cos20Grad = 28.1907 ~28.2

Angabe lautet so: Alpha= 20Grad H(Hypotenuse)= 30 LE (Längeneinheit) Gesucht sind Ankathete und Gegenkathete. Aber weis nicht wie ich dass jetzt mit dem Taschenrechner ausrechne, also welche Tasten ich drücken muss... meine Freunde wissen es auch nicht.

...zur Frage

CASIO Taschenrechner fx-85MS sin, cos, tan geht irgendwie nicht

Hey Leute,

bin gerade am lernen und wenn ich in meinen Taschenrechner z.B. sin 5 eingebe kommt da 0,1 raus -.- und das ist falsch. Wie kann ich das Problem beheben?

Danke

...zur Frage

Wie kann man sin/cos/tan Werte ohne Taschenrechner berechnen?

Wir machen gerade die Sinus und die Kosinusfunktion. Dazu sollten wir auch eine Wertetabelle auswendig lernen. So wie diese ganz am Ende der Seite: http://www.mathematik-wissen.de/kosinus.htm

Im Buch ist eine Aufgabe, bei der man die Werte ohne Taschenrechner berechnen soll. z.B. cos(-120 Grad) sin(-120 Grad) cos(-870 Grad)

Wie kann man das berechnen?

...zur Frage

Was möchtest Du wissen?