Definition Differenzenquotient?

3 Antworten

Etwas flapsig formuliert: Nähern wir uns an x von rechts an, so ist der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten definiert als



Von der anderen Seite kommend wäre das der linksseitige Grenzwert



Man kann (vereinfacht) sagen, dass eine Funktion stetig ist, wenn



Für den Fall einer quadratischen Funktion kannst Du das manuell mit Hilfe der binomischen Formel und einer Größenbetrachtung linearer und quadratischer Terme in h ausführen. Du wirst (natürlich) feststellen, dass rechts- und linksseitiger Grenzwert gleich sind. Somit ist die Ableitung definiert.

Genauere Definitionen findest Du in jedem Lehrbuch über Analysis. Das wird dann axiomatisch aufgebaut und würde den Rahmen hier sprengen.

Muss mich korrigieren: Eine Funktion ist differenzierbar wenn rechts und linkseitiger Grenzwert gleich sind.

Es gilt nur umgekehrt: wenn differenzierbar, dann auch stetig. Aus stetig folgt jedoch nicht automatisch differenzierbar, wie man anhand f(x)=|x| sieht.

War schon bissl spät...

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Um die (durchschnittliche) Steigung zwischen zwei Punkten (P0 und P1) zu ermitteln, nutzt man den Differenzenquotienten. Dieser ist die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte, also: [f(x1)-f(x0)]/(x1-x0).

Um nun die Steigung z. B. "in Richtung" Punkt P0 zu bestimmen, beginnt man beliebig links oder rechts von diesem Punkt und nähert sich dann "bis auf Differenz Null" an diesen Punkt heran. Die Differenz zwischen den beiden Punkten bezeichnet man dann üblicherweise mit h (h-Methode) oder evtl. "delta x". Dann gilt: m=[f(x0+h)-f(x0)]/[(x0+h)-x0)], wobei man dann im Nenner natürlich nur noch das übrigbleibende h schreibt.

Da h>0 gilt, wäre das die Annäherung von rechts an den Punkt P0. Bei der Annäherung von links (wird in der Schule meines Wissens eigentlich nicht angewendet) würde der Quotient so aussehen: m=[f(x0)-f(x0-h)]/[x0-(x0-h)], d. h. man nähert sich von x0-h ausgehend der Stelle x0 von links an.

Handelt es sich nicht um zusammengesetzte Funktionen, dann sind beide Grenzwerte der Steigungen gleich, wie z. B. bei allen ganzrationalen Funktionen (also auch die quadr. Funktion).

Ergänzung: Um an die Steigung in einem Punkt zu kommen, läßt man h gegen Null laufen, d. h. man rechnet den Grenzwert für h gegen Null aus (h darf ja "eigentlich" nicht Null werden, da dann der Nenner Null wäre), also lim h->0 [f(x0+h)-f(x0)]/h [=f'(x0)]. Dieses "Konstrukt" nennt man dann den Differentialquotienten.

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Der Differenzenquotient ist als Δy/Δx definiert... was daran links- oder rechtsseitig sein soll ist mir absolut unklar.

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