Darf man über definitionslücken hinweg integrieren?
5 Antworten
1. Wenn das Integral dort konvergiert, ja. (Z. B. für x=0 bei f(x) = 1/√x)
Aber auch / also erst recht bei hebbaren Definitionslücken, Sprungstellen u. ä.
2. Im Fall der Nichtkonvergenz kann es immer noch sein, dass der Grenzwert für symmetrische Auslassungen um die Lücke herum konvergiert. Also
Integral {-1 ... -epsilon} f(x) dx + Integral {+epsilon ... +1} f(x) dx
konvergiert für epsilon -> 0. Dann nennt man den Grenzwert den "Hauptwert" des Integrals. Aber man darf das nicht mit echter Konvergenz verwechseln.
3. In allen übrigen Fällen: nein.
zu den Definitionslücken gehören auch die Polstellen bei gebrochen - rationalen - Funktionen zum Beispiel
die integrale von -4 bis -2 und -2 bis 0 sind nicht bestimmt , sie , sie konvergieren nicht gegen einen Wert. .................(-4 und 0 von mir willkürlich gewählt, -2 natürlich nicht )
Mir neu, ist , dass es für das Intervall -4 bis 0 diesen Cauchy - Wert gibt.
Da kann ich nur mit dem Wiki Eintrag weiterhelfen
Als cauchyschen Hauptwert bezeichnet den Wert, den man einem divergenten Integral zuordnen kann, wenn sich divergente Teile verschiedenen Vorzeichens gegenseitig aufheben.
https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Hauptwert
ich würde ja denken , dass man sich der -2 beliebig nähern kann , um doch noch einen Flächenwert zu erhalten , aber das ist falsch , weil man , je näher man kommt :::: -2.01 , -2.001 , -2.0001 ....................usw eine immer größere Fläche erhalten würde, das ganze also Willkür wäre.
Im Gegensatz zu Polstellen sind Definitionslücken praktisch unwesentlich.
Das Problem beim Integrieren sind eigentlich nur die Nullstellen, weil das Vorzeichen bei Interpretation als Fläche "unterwegs umgedreht" wird.
Muss nicht, ist die obere Grenze kleiner als die untere, entspricht das einfach dem negativen Integral mit vertauschten Grenzen (heißt: wenn du ein Minus davor setzt, darfst du einfach die Grenzen vertauschen und dann bist du ja wieder in bekanntem Terrain).
(nur ein kleiner Ausblick: Diese Definition macht auch Sinn, denn visualisieren wir uns das Integral als Fläche unter einer Kurve, so bedeutet es, wenn die obere Grenze größer als die untere Grenze ist, einfach, dass wir in die andere Richtung integrieren, nämlich nicht von links nach rechts, sondern von rechts nach links - und diese Orientierung resultiert im Vorzeichen des Integrals).
Rechnerei:
Dazu benötigst du die Ergebnisfunktion, nachdem du integriert hast. Wenn sie zwischen 0,25 und der oberen Grenze eine Nullstelle hat, hast du Probleme; ich hoffe also, dass nicht.
Dann subtrahierst du nämlich das untere von dem oberen Integral (runde Klammern) und schreibst
= 0,99 dahinter. Da du für x ja die untere Grenze eingesetzt hast, bleibt doch nur eine Bestimmungsgleichung für z übrig. (z steht in der oberen Grenze.)
Ja, du musst nur den Definitionsbereich angeben.
Das heißt ich kann eine Funktion beispielsweise von 0 bis 3 integrieren, obwohl eine Definitionslücke bei x=0,5 vorliegt und kann das Integral wie normal berechnen?
Ich glaube schon, weil die Fläche gleich is
Muss die obere Grenze eines integrals eigentlich über der anderen sein?