Frage zu Definitionslücken in Gebrochenrationalen Funktionen?
Die Aufgabe zeigt eine gebrochenrationale Funktion. Allerdings müsste aber die Definitionslücke von 2 behebbar sein, da (2*2^2-4*2)/(2*2^2-8*2+8) = 0/0 ist.
Trotzdem wird sie aber im Plotter angezeigt. Habe ich irgendwas übersehen, oder täusche ich mich da komplett?
Lg
5 Antworten
Umgeformt sieht die Funktion wie folgt aus:
p(x) = (2 * x * (x - 2)) / (2 * (x - 2) * (x - 2))
(x - 2) steht im Zahler und im Nenner, aber im Nenner im Quadrat. Daher handelt es sich nicht um eine hebbare Lücke. Bei x = 2 ist eine Polstelle.
Ja du irrst, Rechts- und linksseitiger Grenzwert müssten gleich sein.
Erstmal den Zähler anschauen:
2x^2-4x = 2 * (x^2 - 2x) = 2 * x * (x - 2)
Dann den Nenner:
2x^2 - 8x + 8 = 2 * (x^2 - 4x + 4) = 2 * (x - 2)^2
D.h. der Nenner geht bei x=2 quadratisch gegen Null, der Zähler aber nur linear, d.h. die Funktion läßt sich bei x=2 nicht stetig ergänzen
Doppelte Nullstelle im Nenner!
Du kannst den Zähler als 2x(x-2) und den Nenner als 2(x-2)² schreiben. Nach dem kürzen bleibt x/(x-2). Dessen Definitionslücke ist nicht hebbar.
Eine Definitionslücke bei x0 ist hebbar, wenn der Term durch (x-x0) kürzbar ist und dann der Nenner bei x0 keine Nullstelle mehr hat.
Allerdings müsste aber die Definitionslücke von 2 behebbar sein, da (2*2^2-4*2)/(2*2^2-8*2+8) = 0/0 ist.
Wie kommst du darauf, dass alle Definitionslücken der Form 0/0 hebbar wären?
Ich dachte das wäre so, im Buch wurde nicht genau auf behebbare def-lücken eingegangen