Betragsfunktion stetig?
Moin, ich suche nach einem Beispiel für eine Funktion f(x) die nicht stetig ist, deren
|f(x)| stetig ist.
f(x)=1/x ist ja auch stetig, eine andere Idee hätte ich nicht gehabt.
4 Antworten
Definieren wir die Funktion s so:
s(x)= 1 , falls der abgerundete ganzzahlige Wert floor{x} eine gerade Zahl ist
s(x)= -1 , falls der abgerundete ganzzahlige Wert floor(x) eine ungerade Zahl ist
Die Funktion s hat an allen ganzzahligen Werten von x Sprungstellen und ist an jenen Stellen unstetig.
Ist nun f irgendeine durchwegs stetige Funktion, so ist die Funktion g mit g(x):= f(x)*s(x) an allen Stellen x unstetig, an welchen x ganzzahlig und f(x)≠0 ist.
g hat dann auch die gewünschte Eigenschaft, dass |g| durchwegs stetig ist, obwohl g viele Unstetigkeitsstellen hat.
Fast alle Treppenstufen-Funktionen wie auch einige trigonometriche Funktionen sind unstätig, doch durch etwas modifizieren kann ihr Betrag stetig sein, z.B.:
- f(x) = Θ(x) - 0,5 (Heaviside Funktion - 0,5) [f(x) = |Θ(x) - 0,5| = 0,5 -> steteig]
- f(x) = tan(x) (Tangens)
- f(x) = cot(x) (Cotangens)
- f(x) = sec(x) (Sekansfunktion)
- f(x) = csc(x) (Cosekansfunktion)
Wir haben halb fünf, ich bin sicher nicht mehr auf der geistigen Höhe, aber ist eine derartige Funktion überhaupt möglich?
Alleine durch den Betrag, was ja quasi nur das negative Vorzeichen neutralisiert, eine unstetige Funktion stetig zu bekommen?
https://de.wikipedia.org/wiki/Unstetigkeitsstelle
Basierend auf der Uhrzeit überlasse ich es deinem Geist herauszufinden, ob es möglich ist. Meiner momentanen Einschätzung nach: Nein!
So ich habe jetzt die Antwort korrigiert.
Jetzt sind es unstetige Funktionen dessen Betrag stetig ist. X)
Die erste Funktion passt. Trigonometrische Funktionen (also die anderen 4) sind aber stetig!
Hm? Habe ich was falsch gemacht?
Eine Funktion stetig, wenn für jeden Punkt einer Funktion ein beidseitiger Grenzwert existiert. Für den Tangens, Cotangens, Sekans und Cosekans gilt das jedoch nicht.
So springt der Sekans an jeden x = (k + 0,5) * π, der Cosekans an jeden x = k * π, der Tangens an jeden x = (k + 0,5) * π und der Cotangens an jeden x = k * π, doch wenn sie an einer Stelle springen, gilt dass sie nicht für jedes Argument x einen beitseitigen Grenzwert haben, also nicht stetig sind.
Irre ich mich etwa?
Einfach ("unmathematisch") ausgedrückt: eine Funktion ist stetig, wenn man den zugehörigen Funktionsgraphen innerhalb des Definitionsbereichs ohne Absetzen des Stifts zeichnen kann.
Daher ist auch z. B. f(x)=1/x stetig.
An den Definitionslücken stellt sich die Frage der Stetigkeit nicht. Die Prüfung, ob eine Funktion an einer Stelle x stetig ist, ist nur möglich, wenn die Funktion an dieser Stelle x auch definiert ist (=erste von 3 Bedingungen zur Prüfung der Stetigkeit)
f(x) ist -1, wenn x rational ist und 1, wenn x irrational ist. Dann ist f nirgends stetig und |f| überall
wie wäre die da: f(x) ist +1 für positives x und -1 sonst...
dann ist |f(x)|=1
yay! oder? 😋
Ich suche aber eine deren Betrag stetig wird.