Var(X) ist E(X-E(X))^2. Wenn du EX berechnet hast, kannst du die Verteilung von (X-EX)^2 leicht ausrechnen und damit dann den Erwartungswert davon.

Der sogenannte "zentrale Grenzwertsatz" besagt, dass das näherungsweise geht. Ich weiß nicht, wie sehr du in Stochastik drin bist, aber die Aussage ist im Prinzip die Folgende: wenn du unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen X_1, ..., X_n hast und Y der Durchschnitt dieser Zufallsvariablen ist (also Y = (X_1+...+X_n)/n), ist (Y minus Mittelwert) geteilt durch Standardabweichung multipliziert mit der Quadratwurzel von n näherungsweise standardnormalverteilt (das ist genauer, je größer n ist). Binomialverteilte Zufallsvariablen mit Parametern n, p kannst du als Summe von n bernoulliverteilten Zufallsvariablen mit Parameter p darstellen, weswegen du diese Aussage auch auf binomialverteilte Zufallsvariablen gut anwenden kannst, obwohl du eigentlich nur eine davon hast.

Das klingt nach einem typischen Bullshitbingospruch aus einem Schulmathebuch. Der schließenden Statistik ist es relativ egal, ob die Dichtefunktionen von Normalverteilungen Glockenkurven sind oder nicht

Die Frage ist schwieriger zu beantworten, aber ich versuch's mal vereinfacht.

Unten wurde schon beschrieben, dass wir einen Würfel mit unendlich vielen Seiten und gleichen Wahrscheinlichkeiten für alle Seiten nicht nach den modernen Vorstellungen der Stochastik definieren können. Das liegt daran, dass es in der Mathematik verschiedene Arten des Begriffes "unendlich" gibt. Wichtig sind davon besonders zwei Arten:

1) der Begriff "abzählbar unendlich". Das ist eine Größenordnung für Objekte, von denen es zwar unendlich viele gibt - du erreichst aber alle dieser Objekte, indem du sie von "1" an durchnummerierst (bzw. "abzählst"). Die natürlichen Zahlen sind beispielsweise abzählbar, da mit der jeweiligen Zahl selber eine einfache Nummerierung gegeben ist (d.h. die Zahl 47932 ist beispielsweise auch die 47932te Zahl in deiner Aufzählung). In der modernen Stochastik fordert man, dass Wahrscheinlichkeiten für komplett verschiedene Ereignisse addieren können muss, um die Wahrscheinlichkeit für das "kombinierte Ereignis" zu erhalten (z.B. P(Würfeln von 1 oder 2) = P(Würfeln von 1) + P(Würfeln von 2)), und zwar, wenn bis zu abzählbar unendlich viele Ereignisse involviert sind. Damit ergibt sich dann sofort, dass ein Würfel mit abzählbar unendlicher Seitenzahl, wie du ihn dir vorstellst, nicht möglich ist: wenn jede Seite dieselbe Wahrscheinlichkeit p hat, ist die Wahrscheinlichkeit, "irgendeine Seite zu würfeln", offensichtlich 1 (denn irgendeine Seite wird immer gewürfelt), dieses Ereignis lässt sich aber auch als abzählbar unendliche Kombination der Ereignisse "Seite x wird gewürfelt" formulieren (x steht jeweils einmal für eine der Würfelseiten) - und jedes dieser Ereignisse hat natürlich Wahrscheinlichkeit p. Also müsste 1 das Ergebnis einer unendlichen Summe von p sein, und das ist für kein p möglich (bei p = 0 kommt 0 als Summe raus, bei p > 0 stattdessen +unendlich).

2) daneben wichtig ist der Begriff "überabzahlbar unendlich". Der ist mathematisch nicht mehr so einfach zu definieren, ist aber vereinfacht gesagt eine Größenordnung über "abzählbar unendlich". Man kann zeigen, dass die reellen Zahlen beispielsweise überabzählbar unendlich sind. Da man die Summationsregel für Ereignisse nur für abzählbar viele Ereignisse gleichzeitig fordert, sind Wahrscheinlichkeiten über beispielsweise die reellen Zahlen deutlich unintuitiver: es ist beispielsweise plötzlich vollkommen normal, dass jede einzelne Zahl Wahrscheinlichkeit 0 hat. Das ist dann aber auch kein Widerspruch mehr, da das Ereignis "irgendeine reelle Zahl wird gewürfelt" eben keine abzählbar unendliche Kombination von "die Zahl x wird gewürfelt" ist (sondern nur noch eine überabzählbar unendliche). Ein Würfel mit überabzählbar vielen Seiten ließe sich daher witzigerweise definieren und wenn du immer und immer wieder hintereinander würfeln würdest, würdest du immer eine andere Seite herauskriegen.

Ich versteh nicht so ganz, was du genau wo "einsetzt". Mein Verständnis: du schaust dir für neun verschiedene Krankheiten jeweils die beiden Gruppen "Kranke" und "Nicht-Kranke" an. Einen t-Test kannst du dann leicht durchführen und der gibt dir in etwa an, wie wahrscheinlich Häufungen bei stark unterschiedlichen Werten auf Zufall zurückzuführen sind. Wie du mit diesem Modell eine Korrelation berechnest, verstehe ich aber nicht - dazu bräuchtest du in meinen Augen mindestens noch gleiche Gruppengrößen und eine Einteilung der Personen in Paare (d.h. jeder Kranke wird einem Nicht-Kranken zugeordnet und umgekehrt).

f(x) ist -1, wenn x rational ist und 1, wenn x irrational ist. Dann ist f nirgends stetig und |f| überall

|x+y| = max{x+y,-x-y}. Wegen x+y <= |x|+|y| und -x-y <= |x|+|y| folgt also sofort |x+y| = max{x+y,-x-y} <= |x|+|y|.

Weis nach, dass das linke geteilt durch das innerhalb des O-Symbols gegen 4, also insbesondere gegen eine Zahl < unendlich konvergiert und somit durch ein C beschränkt ist. Also ist die linke Seite durch irgendein C*n^3 beschränkt

Ja, f'(x) ist als Grenzwert von (f(x+h)-f(x))/h für h gegen 0 definiert. Beim linksseitigen Grenzwert "läuft" h sozusagen von unten zur 0, beim rechtsseitigen Grenzwert nach oben. Wenn f'(x) existiert, sind links- und rechtsseitige Ableitung beide gleich f'(x), wenn f'(x) nicht existiert, können links- und rechtsseitige Ableitung aber trotzdem existieren (das ist beispielsweise bei f(x) = |x| und x = 0 so)

n wird für gewöhnlich als natürliche Zahl verstanden, die dann gegen unendlich läuft. Als Tipp: überleg dir mal, welche Häufungspunkte die Folge, die im Sinus steht, besitzt und welche Werte rauskommen, wenn du diese Häufungspunkte in den Sinus einsetzt