Bestimme das Integral?

Hallo, ich habe Probleme beim lösen dieser Aufgabe, vielleicht kann mir ja jemand von euch weiterhelfen.

Die Lösung soll angeblich Null sein.

Danke :)

Answer 1

[mihisu]

Nutze die Symmetrie aus, dass durch Trafo mit x ↦ -x und z ↦ -z (anschaulich: Spiegelung an y-Achse) der Bereich B wieder auf den Bereich B abgebildet wird.

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Die Transformation

$\Phi :\ B\to B,\ (x, y, z)\mapsto (-x, y, -z)$

ist ein Diffeomorphismus, der B offensichtlich [wegen (-x)² = x² und (-z)² = z²] wieder auf B abbildet.

$\Phi^{-1}(B)=B$

$\det(D\Phi(x, y, z))=\det\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}=(-1)\cdot 1\cdot (-1)=1$

Dementsprechend erhält man mit Transformationsformel...

$\overbrace{\int\limits_{B}(x+z)\,\text{d}V}^{A:=}\overset{\text{Trafo}}{=}\int\limits_{\Phi^{-1}(B)}((-x)+(-z))\cdot\underbrace{\left\lvert\det(D\Phi(x, y, z))\right\rvert}_{=1}\,\text{d}V$

$=\int\limits_{B}(-(x+z))\,\text{d}V=\underbrace{-\int\limits_{B}(x+z)\,\text{d}V}_{=-A}$

Wegen A = -A erhält man dann also...

$A=-A\quad \rightarrow \quad 2\cdot A=0\quad \rightarrow \quad A=0$

Der gesuchte Integralwert ist also gleich 0.

Comments

[Nilson2023]

Vielen Dank!! :)