1/n^2 - 1/2^n?
Kann mir einer einen Beweis dafür geben dass für n € N für 1/n^2 -1/2^n ein Minimum und ein Maximum existiert
2 Antworten
Naja, betrachte folgendes:
1/n²-1/2^n = 0 für n=2. Für alle n>3 ist
n²≤2^n
Also 1/n²≥1/2^n.
Damit ist 1/n²-1/2^n > 0 für alle n>3.
n=1 -> = 1/2
n=2 -> = 0
n=3 -> = 1/9-1/8 > 0
Also ist 0 definitiv bewiesen ein Minimum.
Nun ist aber 1/2^n immer größer als 0 und 1/n² für n>2 immer kleiner als 1/2.
Also steht dort 1/2 ≥ 1/2-b ≥ a-b
Und damit ist 1/2 mit n=1 ein Maximum.
Ja, natürlich. Ich hab das gestern Abend komplett müde gemacht. :D
Ja aber du hast jetzt einfach nur vorausgesetzt dass es für alle n größer 3 gilt aber du musst das doch auch beweisen
IA:
n=4: 4²=16=2^4 -> passt
IS:
(n+1)² = n²+2n+1 < (IV) 2^n + 2n+1 < 2^n + n² < (IV) 2*2^n = 2^(n+1)
Nun bleibt nur noch die Frage, ob wirklich n²>2n+1 für alle n≥4
und naja, entweder machst du noch eine Induktion, oder du siehst:
2<(n-1)²=n²-2n+1 -> 2n+1 < n²
Vergleiche n^2 mit 2^n und das Verhalten von n=0 bis n gegen unendlich. Der Rest ergibt sich daraus.
Erweitere die beiden Brüche, so dass beide Nenner zu
n^2 × 2^n
werden.
In beiden Brüchen ist der Zähler immer kleiner als der Nenner, welcher gegen unendlich geht.
Wir substituieren ein wenig.
(a-b)/(a×b)
Der Rest dürfte einfach sein.
Ich verstehe das vom Prinzip so für n=1 wird das Maximum erreicht und für n=3 das Minimum weil nur für n=3 gilt 2^n < n^2 und somit man ein negativen Wert auch das Verhlaten gegen Unendlich ist klar ich brauche einfach jemanden der mir ein mathemaitsxh korrekten Beweis aufschreibt
Das Minimum ist bei n=3: 1/9 - 1/8 < 0