Zerfallungskörper eines rationelen Polynoms?
Ist f = x^4 + 1 das Polynom über Q (den rationalen Zahlen). Die Frage ist, was der Zerfallungskörper von f über Q ist?
Also zuerst einmal ist f irreduzibel über Q und die Gleichung x^4 = -1 hat nur vier komplexe Lösungen und das sind die vier Einheitswurzeln. Wir nennen sie mal a, b, c, d wobei a = -c und b = -d.
Stimmt das, dass der Zerfallungskörper von f über Q dann gerade Q(a,b) ist vom Grad 8 über Q?
1 Antwort
Beachte, dass die 8ten Einheitswurzeln eine zyklische Gruppe unter Multiplikation sind. Wenn a eine primitive 8te Einheitswurzel ist, ist somit jede Lösung der Gleichung x^4 = -1 bereits in Q(a) enthalten, wir brauchen sonst nichts mehr zu adjungieren.
Wie kommst du allerdings auf den Grad 8? Wir haben 1, a, a², a³ als linear unabhängige Vektoren über Q, aber a^4 = (-1) * 1 ist ja bereits wieder eine Linearkombination der anderen Vektoren.
denn das Polynom x^2 + a^2 ist über Q(a) irreduzibel.
Das stimmt nicht: Entweder gilt a² = i oder a² = -i. Im ersten Fall gilt:
(a^3)^2 + a^2 = (a^2)^3 + a^2 = i^3 + i = 0.
Im zweiten Fall gilt analog:
(a^3)^2 + a^2 = (-i)^3 - i = 0.
Insbesondere ist a^3 in beiden Fällen eine Nullstelle von x^2 + a^2. Somit ist das Polynom nicht irreduzibel über Q(a).
Das verstehe ich nicht.
Ich mache das mal chronologisch. Sei f = x^4 + 1. In Q gibt es keine Nullstelle. D.h. wir adjungieren Q(a) und damit zerfällt f in f = (x-a)(x^3 + ax^2 + a^2 x + a^3) über Q(a). Nun ist c = -a eine Nullstelle von x^3 + ax^2 + a^2 x + a^3 in Q(a), d.h. über Q(a) können wir weiter faktorisieren in f = (x-a)(x+a)(x^2 + a^2).
Ab diesem Zeitpunkt, ist es nicht mehr möglich über Q(a) f weiter zu faktorisieren, denn das Polynom x^2 + a^2 ist über Q(a) irreduzibel. Daher adjungieren wir Q(a,b) wobei b,d die anderen Einheitswurzeln mit b = -d sind. In Q(a,b) zerfällt f dann vollständig.
Der Grad ist dann gegeben durch:
[Q(a,b) : Q] = [Q(a,b) : Q(a)] [Q(a) : Q]
= 2•4 = 8.