Zahlen die glatt durch 7 teilbar sind ohne nachkommastellen, gibt es einen trick um die zahlen so schnell wie möglich zu finden?

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5 Antworten

Da gibt es komplexe Algorithmen.
Einer steht hier. Am besten nimmt man gleich den ersten, der relativ einfach ist:

http://www.mathe-lexikon.at/arithmetik/natuerliche-zahlen/teilbarkeit/teilbarkeitsregeln/teilbarkeit-durch-7.html

Volens 05.07.2017, 16:57

Beispiel 693

69 - 6 = 63      ist teilbar, also 693 durch 7 teilbar

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Beispiel 694
69 - 8 = 61     nicht durch 7 teilbar, also 694 ebenfalls nicht

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Beispiel  8638
863 - 16 = 847
84 - 14 = 70        teilbar durch 7, daher 8638 ebenfalls

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  ICH geb dir jetzt mal ein paar wirklich brauchbare Teilbarkeitsregeln .

   Schritt 1) des Teilertests habe ich selber entwickelt. In der Zifferndarstellung der zu prüfenden Zahl n ist jede Ziffer zu ersetzen

      7  ====>  0          (  1a  )

      8  ====>  1          (  1b  )

      9  ====>  2          (  1c  )

      Die Zahl n ' , die du dann erhältst, nenne ich die 7-er reduzierte . Es gilt trivial

              n  '  =  n  mod  7          (  2  )

    Dass Reduktion ( 1a-c ) eine deutliche Vereinfachung mit sich bringt, ist offensichtlich . Als Nächstes machen wir uns eine Quersumme zu Nutze;  die ===> alternierende Quersumme k-ter Ordnung A ( k ) ist eine Teilbarkeitsregel für p dann und nur dann, falls  ( 10  ^  k  +  1  )  teilbar durch p . In unserem Fall ist natürlich p = 7 ; probieren wir k = 3  , d.h. A3

     7  |  10  ³  +  1  =  1 001      (  3  )

   Du hast also in n ' Dreiergruppen abzuteilen, beginnend von Rechts . Du liesest allenthalben, es sei egal, ob du die rechteste Gruppe mit Vorzeichen Plus oder Minus beginnst.  Stimmt nicht; stets musst du mit Plus beginnen . Weil erst mir ist aufgefallen, dass alle Quersummen auch Modulo funktionieren; wenn du ( etwa bei einer großen Zahl mit 4 711 Stellen ) die  A3 einige hundert Mal hintereinander anwendest, geben alle Zwischenergebnisse den selben Rest mod 7 . Würdest du mit Minus statt Plus beginnen, käme der Rest natürlich mit dem falschen Vorzeichen raus .

  Eh wenn Tunnel ist auch nach jeder Anwendung der A3 Reduktionsschritt ( 1a-c ) zu wiederholen .

   Am ende landeest du also bei einer ( höchstens ) 3-stelligen Zahl  m ( end )  < 700 Nun ist es sicher kein Akt, für eine 3-stellige Zahl ihren Rest bei Division durch 7 auszumitteln .  Aber selbst hier gibt es noch einen Trick für Faule .  Ich schmeichle mir, der Entdecker der " 100-er-Regeln " zu sein; für Zahlen p, die nicht wesentlich größer sind als 100 , funktioniert dieser Teilertest recht einheitlich . du fragst einfach ; was ist 100 mod p ? 

     Mein Lieblingscomic ist übrigens Yogibär; denn Yogi ist bedeutend klüger als ein Durchschnittsbär .  Weil die Babylonier entdeckten die 100-er  Regel mod 7 ;  darum bezeichnet man diesen Sonderfall als " babylonischen Teilertest " Aber das allgemeine Prinzip dämmerte ihnen nicht .

       Was ist  100 mod 7 ?  100 mod 7 = 2

    ein Beispiel

          417 = 4 * 100 + 17 = 4 * 2 + 17  mod  7  =  25  mod  7  =  (  -  3  )     (  4  )

   Hier wird quasi unterstellt, dass du wenisten für zweistellige Zahlen ( < 70 ! ) den Rest mod 7 auswändig weißt .

    Noch Fragen?

gilgamesch4711 05.07.2017, 15:03

  Tut mir Leid;  ( 1.4 ) war ein Eigentor . 417 hätte ich erst reduzieren müssen; dann wäre es 410

   410 = 4 * 2 + 10  mod  7  =  18  mod  7  =  (  -  3  )      (  2.1  )

   Die Zahlen werden einfach kleiner .

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Gibt es:

http://www.mathe-lexikon.at/arithmetik/natuerliche-zahlen/teilbarkeit/teilbarkeitsregeln/teilbarkeit-durch-7.html

Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn auch jene Zahl durch 7 teilbar ist, die entsteht, wenn man das Doppelte der letzten Ziffer von der restlichen Zahl subtrahiert.

Mojoi 05.07.2017, 12:05

Wow!

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Tannibi 05.07.2017, 12:14
@Mojoi

Super. Dann subtrahiere mal 16 von 1234567 und
finde mit dieser Methode raus, ob 12345678 durch
7 teilbar ist.

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beangato 05.07.2017, 12:30
@Tannibi

Die erst nicht, die zweite schon.

Kann man wunderbar mit der schriftlichen Substraktion und dem schriftlichen Dividieren rausfinden.

Hab ich jedenfalls mal in der Schule gelernt - bei uns gabs noch keine Taschenrechner.

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Lolligerhans 05.07.2017, 13:43
@Tannibi

Wo ist das Problem? Hat doch eine Stelle winiger. Kannste aber auch direkt ausrechnen und fertig.

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Hmm.. Einfach die 7er Reihe.. Gar nicht soooo schwer

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